GEOMETRIA APPROFONDIMENTO A r d r E A E D B C A B C D Nella figura sopra, il punto A è la proiezione parallela di A secondo la direzione d; il punto B è la proiezione parallela di B secondo la direzione d e così via. Le rette che congiungono punti corrispondenti appartengono allo stesso fascio di rette parallele. Nella proiezione parallela, a ogni segmento, di estremi A e B, corrisponde un segmento, che ha per estremi i punti corrispondenti di A e B. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 S Supponiamo di collocare verticalmente sul terreno un righello graduato trasparente, in una giornata di sole. La sua ombra sul terreno non ha la stessa lunghezza del righello e le tacche dei centimetri, che si individuano nella sagoma dell ombra, non distano più 1 centimetro. Restano però equidistanti. La proiezione parallela stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i punti delle due rette r e r . 5.1 La congruenza dei segmenti come invariante TEOREMA 31 Questo accade perché i raggi del Sole, data la sua enorme distanza dalla Terra, possono considerarsi paralleli. questa una situazione fisica nella quale si verifica una proiezione parallela. In ogni proiezione parallela di una retta r su una retta r , a segmenti congruenti su r corrispondono segmenti congruenti su r . In altri termini: se A , B , C , D appartenenti a r sono i punti rispettivamente corrispondenti di A, B, C, D appartenenti a r, nella proiezione parallela di r su r di direzione d, possiamo scrivere: Ip: AB CD Ts: A B C D Approfondisci Dimostrazione del teorema 31 Dal teorema precedente derivano i seguenti corollari (teoremi che sono una conseguenza pressoché immediata del teorema precedente). I COROLLARIO In ogni triangolo la parallela a un lato condotta dal punto medio di un secondo lato interseca il terzo lato nel suo punto medio. C Ip: AM MC, MN // AB Ts: BN CN M N A B Dimostrazione Tracciando da C la parallela ad AB si evidenzia la proiezione parallela della retta AC sulla retta BC. E quindi, per il teorema 31, AM MC BN CN. II COROLLARIO In ogni triangolo il segmento che ha per estremi i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato. C Ip: AM MC, BN NC Ts: MN // AB M A 200 N H B