GEOMETRIA B P 6.1 L inverso del teorema di Talete r Il teorema di Talete stabilisce che un insieme di rette parallele determina su altre due rette segmenti proporzionali ma, in realtà, è invertibile. A A s B r t FISSA I CONCETTI Inverso del teorema di Talete: rette che determinano su due rette trasversali segmenti proporzionali sono parallele. Approfondisci Dimostrazione del teorema 34 TEOREMA 34 (inverso del teorema di Talete) Se due rette determinano su due rette incidenti segmenti proporzionali, allora esse sono parallele. Indichiamo con r e r le due rette che si intersecano in P. PA PA Ip: _ = _ Ts: s // t AB A B Considerando il teorema di Talete e il suo inverso, otteniamo una strettissima relazione tra due proprietà fra loro apparentemente lontane: Q il fatto che un insieme di rette sia formato da rette tra loro parallele; Q il fatto che a segmenti proporzionali su una retta (congruenti se il rapporto è 1, oppure l uno doppio, triplo, dell altro) corrispondano segmenti proporzionali su un altra retta. 6.2 Applicazioni del teorema di Talete Otteniamo una conseguenza immediata del teorema di Talete e del suo inverso pensando a rette che formano un triangolo. Abbiamo così il seguente teorema, la cui dimostrazione è lasciata come esercizio. TEOREMA 35 In ogni triangolo una retta determina su due lati o sui loro prolungamenti segmenti proporzionali se e solo se è parallela al terzo lato. AD AE Ip: ___ = ___ Ts: DE // BC BD EC A D E B C esempio O Dividi un segmento in parti proporzionali alle lunghezze di due segmenti dati. Sia AB il segmento da dividere in parti proporzionali alle rispettive lunghezze, m e n (con m, n R+) di due segmenti dati. Disegniamo i due segmenti come adiacenti (sempre possibile in base all assioma 7) e indichiamoli con AC e CD. D n Vogliamo dividere AB in parti proporzionali a A m C m e n. E Si tratta cioè di determinare un punto E tale AE m che: ___ = _. B EB n Il teorema di Talete permette di effettuare questa costruzione: basta infatti unire D con B e quindi tracciare da C la parallela a BD: il suo punto di intersezione con AB è proprio E. 204