5 Quadrilateri esempio O Il triangolo equilatero è una figura simmetrica centralmente? La simmetria rispetto ai tre assi del triangolo equilatero e la sua forma, che quasi invita a farlo ruotare rispetto a un centro, farebbero pensare che il triangolo equilatero sia una figura simmetrica centralmente, ma ciò non è vero. Se tale centro esiste, esso deve necessariamente appartenere a ciascuno degli assi di simmetria del triangolo: deve essere il loro comune punto di intersezione O. Se però consideriamo un qualsiasi vertice del triangolo (per esempio A), dimostriamo facilmente che il punto A , simmetrico di A rispetto a O, è esterno al triangolo: non appartiene a esso. A C O A B Simmetrie nei quadrilateri Mentre, in generale, il trapezio non presenta alcun tipo di simmetria, le considerazioni sul triangolo isoscele possono essere estese in modo immediato al trapezio isoscele: il trapezio isoscele è una figura simmetrica rispetto alla retta che passa per i punti medi delle sue basi. r D A N C M B Anche il parallelogramma è una figura simmetrica, ma centralmente: il parallelogramma è una figura simmetrica rispetto al punto di intersezione delle sue diagonali. Infatti, qualunque sia il punto P all interno del parallelogramma, la retta per P e O, punto di intersezione delle diagonali, interseca due lati opposti del parallelogramma (per esempio AD e BC) in due punti, che indichiamo con Q e Q . C D P Q P Q O B A I triangoli AOQ e COQ sono congruenti per il secondo criterio (ALA); infatti: Q AO OC (teorema 24d); Q Q O C (perché opposti al vertice); Q AO Q OC Q (perché alterni interni delle parallele AD e BC con la trasversale Q OA AC). Di conseguenza QO OQ e il segmento QQ è simmetrico rispetto al suo punto medio O. Così ogni punto P di tale segmento ha il suo simmetrico. 197