GEOMETRIA TEOREMA 30 Ogni angolo è simmetrico rispetto alla sua bisettrice. APPROFONDIMENTO A S l angolo è piatto, la sua Se bisettrice è perpendicolare ai lati dell angolo e l angolo è simmetrico rispetto a essa. I due angoli individuati dalla bisettrice sono angoli retti. Dimostrazione Limitiamo la dimostrazione a un angolo conves b, indichiamo so e non piatto. Dato un angolo aO con m la sua bisettrice. Qualunque sia il punto P interno all angolo, tracciamo la perpendicolare per P alla bisettrice m e su tale perpendicolare troviamo, interno all angolo, il punto P simmetrico di P. m mO b, P aO m Ip: aO FISSA I CONCETTI Q Q Una figura è simmetrica rispetto a un asse (retta r ) se: a) per ogni punto P della figura non appartenente a r esiste un punto P ancora appartenente alla figura e sul semipiano opposto rispetto a r ; b) PP r ; c) indicato con Q il punto in cui il segmento PP interseca la retta r, abbiamo: P Q QP. Asse di un segmento: è la retta perpendicolare al segmento e passante nel suo punto medio. a A P m M P B b O b e P simmetrico di Ts: esiste P | P mO P rispetto a m Infatti: I. la perpendicolare a m interseca i due lati dell angolo nei punti A e B, perché l angolo è convesso e non piatto; II. i triangoli OMA e OMB sono congruenti per il secondo criterio (ALA) M MO B (perché m è bisettrice), A MO O MB (perché retti) poiché AO e OM in comune; III. da II segue che AM MB e, per il teorema 29, AB è simmetrico rispetto al suo punto medio M. Così ogni punto P di tale segmento ha il suo simmetrico. Inoltre, come abbiamo visto nel paragrafo 4.2, il segmento AB è simmetrico rispetto al suo asse, che, nel caso in esame, è la retta m, cioè la bisettrice dell angolo. c.v.d. esempio O Quali delle seguenti figure del piano sono simmetriche rispetto a un asse? a. Retta b. Semipiano Sì, ogni retta è simmetrica rispetto a qualunque retta a essa perpendicolare. Sì, ogni semipiano è simmetrico rispetto a qualunque retta perpendicolare alla retta che lo origina. Simmetrie nei triangoli La dimostrazione del teorema 30 esprime un fatto percettivo immediato: il triangolo isoscele è simmetrico rispetto a un asse: la bisettrice del suo angolo al vertice (che è anche altezza e mediana relativa alla base). B M A C Il triangolo equilatero può essere considerato come triangolo isoscele da tre punti di vista, assumendo ogni volta come base uno dei suoi tre lati. Possiamo pertanto affermare che: il triangolo equilatero è simmetrico rispetto a tre assi: le bisettrici dei suoi angoli (che sono anche sue altezze e mediane). A C B 196