GEOMETRIA 3.2 Rettangoli DEFINIZIONE KEYWORDS K Si dice rettangolo un parallelogramma con tutti gli angoli congruenti. rettangolo / rectangle re ATTENZIONE! A A B TEOREMA 28 Un parallelogramma è un rettangolo se e solo se le sue diagonali sono congruenti. C Dimostrazione Il teorema si compone di due parti, che dimostriamo separatamente. B a. Ip: ABCD rettangolo Ts: AC BD Consideriamo i triangoli ABC e ABD. I. Essi sono congruenti per il primo criterio (LAL). Infatti: AD BC B AB C (perché il rettangolo è un parallelogramma, teorema 24b), DA (per ipotesi), AB in comune. II. Da I segue AC BD. O A C Poiché la somma degli angoli di un parallelogramma è 2 angoli piatti, un rettangolo ha 4 angoli retti. P affermare che un Per parallelogramma è un rettangolo, basta verificare che abbia un angolo retto: infatti saranno sicuramente retti anche il suo opposto e il suo vicino. D D b. Ip: ABCD parallelogramma, AC BD Ts: ABCD rettangolo Consideriamo i triangoli ABC e ABD. I. Essi sono congruenti per il terzo criterio (LLL). Infatti, AC BD (per ipotesi), AD BC (perché parallelogramma, teorema 24b), AB in comune. II. Da I segue D AB A BC e, poiché tali angoli sono supplementari, essi sono anche retti. III. Essendo per ipotesi un parallelogramma, gli angoli opposti sono congruenti (teorema 24): ABCD ha, quindi, quattro angoli retti. c.v.d. esempio FISSA I CONCETTI Q Q Rettangolo: parallelogramma con tutti gli angoli congruenti Le diagonali di un rettangolo sono congruenti. 192 O Considera i precedenti teoremi sul parallelogramma, sul rombo e sul rettangolo; stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere. a. Un quadrilatero con i lati opposti congruenti è un rettangolo. Non è vera. Un quadrilatero con i lati opposti congruenti è un parallelogramma, ma non necessariamente un rettangolo. b. Un rettangolo con le diagonali perpendicolari è un rombo. vera, perché un rettangolo è un parallelogramma e se ha le diagonali perpendicolari è anche un rombo (teorema 27b). c. Un quadrilatero con le diagonali congruenti è un rettangolo. Non è vera. Per esempio, la figura a lato (trapezio isoscele) ha le diagonali congruenti, ma non è un rettangolo: d. Condizione necessaria e sufficiente affinché un parallelogramma sia un rettangolo è che abbia le diagonali congruenti. vera, è una riformulazione del teorema 28.