1 Sistemi di equazioni di primo grado Risolviamo ora il seguente sistema: x + y + z = 1 y=x+z 2 {x + y = 2 z La seconda equazione è esplicitata rispetto a y, quindi sostituiamo y nelle altre due equazioni: x + x + z 2 + z = 1 y=x+z 2 {x + x + z 2 = 2 z APPROFONDIMENTO A 2x + 2z = 1 y=x+z 2 {2x + 2z = 4 La prima e la terza equazione costituiscono un sistema di due equazioni in due incognite con uguali sia i coefficienti di x sia quelli di z. Applicando il metodo di sottrazione otteniamo: 2x + 2z = 1 2x 0 + 2z +0 = = 4 O Osserva che la prima equazione del sistema esprime che «il doppio di x più il doppio di z dà 1 , mentre la terza equazione esprime che «il doppio di x più il doppio di z dà 4 . Le due affermazioni sono evidentemente l una in contraddizione con l altra. Il sistema, infatti, è impossibile. 3 Si tratta di una proposizione falsa; quindi il sistema dato è impossibile. La prima e la terza equazione sono incompatibili tra loro. Consideriamo invece il sistema: 3x + 3y + 3z = 6 x+y z=1 {x + y + z = 2 Dividendo tutti i termini della prima equazione per 3 otteniamo: x + y + z = 2 La prima equazione coincide allora con la terza. Il sistema si riduce, pertanto, a un sistema del tipo 2 3. Il numero delle equazioni risulta minore del numero delle incognite, dunque il sistema è indeterminato. Le sue soluzioni sono infinite terne. Cerchiamo di esprimere una sua generica soluzione. La seconda e la terza equazione hanno i coefficienti di x e di y uguali; sottraendo abbiamo: x +y z = 1 x +y +z = 2 3 z = __ 2 Sostituendo questo valore di z in una delle due equazioni, per esempio nella seconda, otteniamo: 0 0 3 x + y + __ = 1 2 2z = 3 1 x + y = __ 2 1 y = x __ 2 17