1 Sistemi di equazioni di primo grado Viceversa, se il numero delle incognite supera quello delle equazioni il sistema risulta indeterminato perché non c è un numero sufficiente di vincoli. FISSA I CONCETTI Q In generale, in un sistema lineare con m equazioni e n incognite: Q se m > n e se le equazioni sono indipendenti rispetto alle altre, il sistema è impossibile; Q se m n e se le equazioni sono indipendenti rispetto alle altre, il sistema è impossibile; se m < n, il sistema è indeterminato; se m = n, il sistema può avere una sola soluzione per ciascuna incognita. Q Un sistema lineare ha una sola soluzione (formata da un valore per ciascuna delle n incognite) se e solo se ha tante equazioni indipendenti quante sono le incognite. 3.2 I sistemi lineari con tre equazioni in tre incognite Per risolvere sistemi lineari con più di due equazioni e più di due incognite, utilizziamo gli stessi metodi che abbiamo visto nel paragrafo precedente. Un sistema lineare 3 3 è un sistema formato da 3 equazioni di primo grado in 3 incognite. Se il sistema è determinato, la soluzione del sistema è una terna ordinata di numeri reali (x ; y ; z) che soddisfano tutti i vincoli, quindi se sostituiti alle incognite verificano contemporaneamente tutte le equazioni del sistema. Per esempio, il sistema: x+y+z=3 2x + y + z = 1 è un sistema lineare di 3 equazioni nelle incognite x, y, z. {x y 2z = 2 Per risolverlo possiamo utilizzare il metodo di sostituzione, ricavando il valore di una incognita in una equazione e sostituirlo nelle altre due; otteniamo così due equazioni in due incognite. Queste le risolviamo applicando uno dei metodi studiati nel paragrafo precedente e, successivamente, sostituiamo le soluzioni trovate per le due incognite nella prima equazione. Troviamo così la soluzione anche della terza incognita e, quindi, la soluzione del sistema. Nell esempio dato possiamo osservare che la prima e la seconda equazione hanno sia i coefficienti di y sia quelli di z uguali; possiamo quindi applicare come metodo risolutivo il metodo di addizione e sottrazione, sottraendo la prima equazione dalla seconda, otteniamo: x 3 +y +z = 2x x +y 0 +z 0 = = 1 2 x = 2 Sostituiamo a x il valore 2 nella terza equazione e in una qualunque delle altre due, per esempio nella prima: 2 + y + z = 3 x = 2 { 2 y 2z = 2 y+z=5 x = 2 { y 2z = 4 ATTENZIONE! A P Poiché x = 2 è stato ottenuto considerando le prime due equazioni, tale valore deve essere sostituito nell unica non ancora utilizzata, cioè la terza. In caso contrario, cioè se si sostituisse nella prima e nella seconda equazione: 2 + y + z = 3 4 + y + z = 1 {x = 2 si perderebbe l informazione propria della terza equazione e il sistema non risulterebbe determinato. 15