4 La retta nel piano cartesiano m= 1 2 x=2 Poiché tutte queste rette passano per il punto P, la loro equazione deve avere come soluzione la coppia (2 ; 3). Applichiamo la condizione di appartenenza di un punto alla retta, sostituendo la coppia di valori delle coordinate di P nell equazione y = mx + q: 3 = 2m + q Da questa equazione otteniamo q = 3 2m, che sostituiamo nell equazione generale della retta: y y = mx + 3 2m u r m=3 Questa equazione rappresenta tutte le rette passanti per P, tranne la retta u che è parallela all asse delle ordinate e che, quindi, non può essere espressa nelP la forma y = mx + q. Infatti, come puoi verificare leggendo i rispettivi 1 coefficienti angolari dal grafico, le equazioni delle O 1 rette disegnate risultano: r (con m = 3): y = 3x + 3 2 3 y = 3x 3 1 1 1 s (con m = _): y = _ x + 3 2 _ 2 2 2 1 _ y= x+2 2 t (con m = 1): y = ( 1)x + 3 2 ( 1) y = x + 5 v (con m = 0): y = 0x + 3 2 0 y = 3 s v m=0 m=2 x m = 1 t u ha invece equazione x = 2 Per generalizzare quanto osservato, possiamo determinare l equazione del fascio di rette di centro in un punto P(x0 ; y0) a partire dall equazione generale della retta y = mx + q, ponendo la condizione di appartenenza del punto P alla retta. Otteniamo: y0 = mx0 + q da cui: q = y0 mx0 L equazione della retta generica del fascio è quindi: y = mx + y0 mx0 y y0 = mx mx0 Mettendo in evidenza m otteniamo: y y0 = m(x x0) L equazione contiene, oltre alle incognite, una lettera che indica un valore non definito numericamente perché a esso possono essere assegnati valori diversi. Una lettera che in una equazione ha questo ruolo di variabilità, pur non essendo un incognita è detta parametro. Al variare del parametro m otteniamo infinite rette del fascio di centro P. Da questa scrittura rimane però esclusa la retta per P parallela all asse delle ordinate, che ha equazione x = x0. Le due equazioni: y y0 = m(x x0) e x = x0 descrivono l intero fascio di rette passanti per P. KEYWORDS K pparametro / parameter PROVA TU Fascio di rette per un punto con GeoGebra 143