4 La retta nel piano cartesiano 4.2 L equazione della retta passante per due punti Non sempre è possibile determinare l equazione di una retta dal suo disegno. Infatti, possono esserci imprecisioni nel disegno stesso oppure i punti per cui passa la retta sono difficilmente individuabili con esattezza come anche il suo coefficiente angolare (per esempio, se questo è un numero irrazionale). Vedremo ora come determinare l equazione di una retta di cui si conoscano le coordinate di due suoi punti P1(x1 ; y1) e P2(x2 ; y2). Se x1 = x2 = k, allora la retta è parallela all asse delle ordinate e la sua equazione è x = k. Per esempio, l equazione della retta passante per i punti A(1 ; 3) e B(1 ; 2) è x = 1 (fig. a.). In particolare, due punti che hanno entrambi l ascissa uguale a 0 (x1 = x2 = 0), appartengono all asse delle ordinate. Quindi x = 0 è l equazione dell asse y. Se y1 = y2 = q, allora la retta è parallela all asse delle ascisse e la sua equazione è quella della funzione costante y = q (fig. b.). Per esempio, i punti C(3 ; 3) e D(1 ; 3) individuano la retta parallela all asse delle ascisse di equazione y = 3. In particolare, due punti che hanno entrambi l ordinata uguale a 0 (y1 = y2 = 0) appartengono all asse delle ascisse. Quindi y = 0 è l equazione dell asse x. y x=1 y A D 1 O 1 x C y=3 1 B O a. 1 x b. 3. Se i punti non sono allineati su rette parallele agli assi (fig. c.), la retta ha equazione y = mx + q, con m diverso da zero. Determiniamo prima di tutto il y2 y1 coefficiente angolare m = ____________ . x2 x1 Per trovare il termine noto q osserviamo che ognuna delle due coppie ordinate (x1 ; y1) e (x2 ; y2) deve essere soluzione dell equazione della retta (Condizione di appartenenza di un punto a una retta). Sostituendo allora, nell equazione, alle variabili x e y, una qualsiasi di queste coppie ordinate di numeri reali, per esempio (x1 ; y1), otteniamo una proposizione vera: y1 = mx1 + q q = y1 mx1 Abbiamo così ricavato anche q. y E y = mx + q F 1 O 1 x c. 141