4 La retta nel piano cartesiano Dimostrazione Consideriamo due coppie ordinate di numeri reali, (x1 ; y1) e (x2 ; y2), con x1 x2, che siano soluzioni dell equazione: y = mx + q Poiché le due coppie ordinate rappresentano soluzioni dell equazione, devono valere le seguenti identità: y1 = mx1 + q y2 = mx2 + q Sottraendo tra loro quantità uguali otteniamo ancora quantità uguali; vale, quindi, anche quest altra identità: y2 y1 = mx2 + q (mx1 + q) y2 y1 = mx2 + q mx1 q y2 y1 = m(x2 x1) Dividendo sia a sinistra sia a destra per x2 x1 (che è diverso da 0), otteniamo: y2 y1 _ =m x2 x1 L espressione a sinistra è il coefficiente angolare della direzione individuata dai due punti P1(x1 ; y1) e P2(x2 ; y2). Questi due punti, per ipotesi, sono due punti qualunque del grafico di y = mx + q. Ciò significa che, comunque noi prendiamo due punti sul grafico, essi individuano sempre la stessa direzione, data dal numero m. Il grafico, perciò, avendo sempre la stessa direzione, è una retta e il suo coefficiente angolare è proprio il numero m che compare nell equazione come coefficiente di x. c.v.d. FISSA I CONCETTI Q Q Il grafico di y = mx + q è una retta. Il suo coefficiente angolare è il numero m. Il coefficiente angolare m di una retta y = mx + q è definito in tutte le direzioni del piano tranne quella parallela all asse delle ordinate (x = 0). y P2 P1 Nella dimostrazione abbiamo supposto x1 x2. Questa supposizione ci ha permesso di dividere per x2 x1, differenza sicuramente diversa da 0. Se fosse x1 = x2, i due punti P1(x1 ; y1) e P2(x2 ; y2) sarebbero allineati verticalmente (vedi figura a lato). y2 y1 perde di significaIn tale caso l espressione del coefficiente angolare _ (x 2 x 1) to perché il suo denominatore è uguale a 0. Il coefficiente angolare è quindi definito per ogni direzione del piano che non sia parallela all asse delle ordinate. La funzione y = mx + q ha perciò come grafico una retta non parallela all asse delle ordinate. O APPROFONDIMENTO A Il grafico di una funzione non può mai avere due punti con uguale ordinata. Infatti, la funzione è una legge univoca e a un dato valore di x non possono corrispondere due diversi valori di y. 3 Il grafico di una funzione Esercizi da pag. 163 lineare Nell espressione y = mx + q i due numeri m (coefficiente angolare) e q (termine noto) permettono di disegnare rapidamente il grafico della funzione, senza costruire la tabella di valori corrispondenti. Per esempio, se vogliamo disegnare il grafico della funzione y = 3x 2, possiamo innanzitutto segnare il punto Q(0 ; 2) in cui la retta interseca l asse y (fig. a.). 3 Scriviamo poi il coefficiente angolare 3 come frazione: _. A partire dal punto Q 1 possiamo così segnare altri punti, spostandoci via via di un quadretto verso destra e di tre quadretti verso l alto (fig. b. a pag. seguente). x y 1 O 1 x Q a. 133