4 La retta nel piano cartesiano Stabilito nel piano un sistema di riferimento cartesiano, segniamo i punti aventi come coordinate le coppie della tabella: 7 A( 3 ; _) 2 H y G B( 2 ; 2) F 1 C( 1 ; _) e così via. 2 E D 1 C B 1 x A I punti rappresentati sono allineati. Inoltre, tutti i punti della retta passante per A, B, , H hanno come coordinate coppie ordinate di numeri reali, che sono soluzioni dell equazione data. Il grafico della funzione data è quindi una linea continua che, come dimostreremo nel prossimo paragrafo, è una retta. Il grafico di una funzione del tipo y = mx + q (con m, q R) è una retta; le funzioni di primo grado sono perciò anche dette funzioni lineari. In particolare, se m = 0 abbiamo y = q: la funzione è costante perché, qualunque sia x R, y è costantemente uguale a q. esempio 2 O Disegna nel piano cartesiano il grafico della funzione y = _ x 1. 3 2 _ Poiché il grafico della funzione y = x 1 è una retta e per due punti passa 3 una e una sola retta, è sufficiente trovare due soluzioni dell equazione. Se x = 0, allora y = 1, mentre se x = 3 abbiamo: 2 y=_ 3 1=2 1=1 3 Le due soluzioni (0 ; 1) e (3 ; 1) sono le coordinate di due punti, A e B, appartenenti alla retta. Possiamo tracciare il grafico. y 1 O 1 A B ATTENZIONE! A L coordinate di ogni punto Le appartenente alla retta così individuata sono tutte e sole le coppie soluzioni dell equazione 2 y = _x 1 3 x FISSA I CONCETTI Q APPROFONDIMENTO A P Poiché il grafico di una funzione lineare è una retta, d ora in avanti per disegnare la retta calcoleremo le coordinate di due sui punti ricordando l assioma 2b della geometria euclidea: «Ogni coppia di punti del piano appartiene a una sola retta . L appartenenza di due punti a una sola retta è spesso espresso dicendo come qui sopra nell esempio che per due punti passa una e una sola retta. Q Q Funzione polinomiale di primo grado: y = mx + q con m, q R L insieme di definizione di y = mx + q è R. Il grafico di una funzione y = mx + q (detta lineare) è una retta. 127