ARITMETICA E ALGEBRA O Risolvi il seguente sistema con il metodo di addizione o sottrazione. 2x 5y = 7 {2x + 3y = 1 Poiché nelle due equazioni i coefficienti di x sono uguali, conviene sottrarre i monomi simili delle due equazioni; in questo modo otteniamo una equazione nella sola incognita y: 2x 5y = 7 2x +3y = 1 0 8y = 6 8y = 6 6 y = _ 8 3 y = _ 4 Sostituendo in una delle due equazioni, per esempio nella seconda, otteniamo il valore di x: 3 2x + 3 ( _) = 1 4 13 2x = _ 4 9 2x _ = 1 4 9 2x = 1 + _ 4 13 x=_ 8 13 3 La soluzione del sistema è (_ ; _). 4 8 ATTENZIONE! A U equazione rimane equivalente Una se si moltiplicano tutti i suoi termini per uno stesso numero diverso da 0. Possiamo generalizzare questo metodo utilizzando il principio di equivalenza delle equazioni. sempre possibile, infatti, con opportune moltiplicazioni, trasformare le equazioni che compongono un sistema in modo tale che abbiano uguali o opposti i coefficienti della stessa incognita, per esempio quelli di x. A questo punto, addizionando o sottraendo le due equazioni, otteniamo una equazione con una sola incognita (per esempio la y). APPROFONDIMENTO A Il metodo descritto a fianco, pur nella sua correttezza, è sovrabbondante. sufficiente, infatti, fare in modo che il coefficiente comune alle due incognite sia il mcm tra i coefficienti. Per ottenere ciò in un sistema del tipo ax + by = c {dx + ey = f è sufficiente moltiplicare la prima mcm (a ; d ) espressione per _ a mcm (a ; d ) e la seconda per _. d Il modo più semplice per ottenere due equazioni con lo stesso coefficiente alla stessa incognita è moltiplicare entrambe le parti della prima equazione per il coefficiente di una delle incognite della seconda e viceversa. Per esempio, dato il sistema: ax + by = c { dx + ey = f per eliminare l incognita x è sufficiente moltiplicare entrambe le parti della prima equazione per d e quelle della seconda per a ottenendo: ax + by = c d (ax + by) = dc adx + bdy = cd { dx + ey = f {adx + aey = af {a (dx + ey) = af immediato notare che nell ultimo sistema le equazioni hanno le incognite x con lo stesso coefficiente e quindi, sottraendo le due espressioni, l incognita x scompare. esempio O Risolvi il seguente sistema con il metodo di addizione o sottrazione. 2x + 4y = 3 {3x + 5y = 1 Moltiplichiamo tutti i termini della prima equazione per 3 (coefficiente di x nella seconda equazione) e tutti i termini della seconda equazione per 2 (co12