3 Parallelismo e perpendicolarità I. Poiché per ipotesi il lato AB è maggiore del lato AC, allora su di esso (assioma 7 del trasporto del segmento) esiste un punto D tale che: AD AC. A D C B II. Il triangolo ADC è allora isoscele e quindi (teorema 5) ha gli angoli alla A. C DC base congruenti: AD C è angolo esterno del triangolo DBC e quindi è maggiore III. L angolo AD di ognuno degli angoli interni non adiacenti (teorema 12). In particolare . C > B AD A > B (per II e III). IV. DC A è un angolo interno all angolo C e quindi C > DC A. V. DC >B (per IV e V, ricordando che la relazione essere VI. Abbiamo pertanto C maggiore è transitiva). b. Ad angolo maggiore è opposto lato maggiore. Ts: AB > AC C > B Ip: Se per assurdo la tesi fosse falsa, avremmo due possibilità: B , contrariamente all ipotesi; Q AB AC, ma allora (teorema 5) C Q AB < AC, ma ciò è impossibile perché allora, per la prima parte del teo < B , contrariamente all ipotesi. rema, dovrebbe essere C B C B C A A Poiché nessuna delle due possibilità di negazione della tesi può essere vera, ne segue che la tesi è vera. c.v.d. esempio O Dimostra il seguente teorema. In ogni triangolo rettangolo l ipotenusa è maggiore di ognuno dei cateti. La sua dimostrazione è una immediata conseguenza del teorema 21. Infatti, nel triangolo rettangolo l angolo retto è il maggiore di ciascuno degli altri due angoli che sono acuti. L ipotenusa, che è il lato opposto all angolo retto, è allora maggiore di ciascuno degli altri due lati. Il seguente teorema rappresenta un criterio di congruenza per i triangoli rettangoli. TEOREMA 22 Due triangoli rettangoli con l ipotenusa e un cateto rispettivamente congruenti sono congruenti. A retti Ts: A B C ABC Ip: A C AC, B C BC, A 101