GEOMETRIA Per il triangolo isoscele dimostriamo il seguente teorema. TEOREMA 20 In ogni triangolo isoscele, l altezza relativa alla base, la mediana della base e la bisettrice dell angolo al vertice coincidono. Ip: AB AC Ts: A MB A MC BM MC M MA C BA B M C A Dimostrazione Consideriamo il triangolo isoscele ABC di vertice A. Vogliamo dimostrare che: AM altezza AM mediana AM bisettrice già stato dimostrato (teorema 11) che bisettrice e mediana coincidono: M MA C BM MC BA sufficiente, quindi, dimostrare che altezza e bisettrice coincidono oppure che altezza e mediana coincidono. Dimostriamo che altezza e bisettrice coincidono. Si tratta di una doppia dimostrazione. a. Se AM è bisettrice, allora AM è altezza M MA C Ts: A MB A MC Ip: AB AC, BA B (teorema 5 nei triangoli isosce C AC Poiché il triangolo è isoscele, AB li gli angoli alla base sono congruenti). I triangoli AMB e AMC hanno due angoli congruenti e, quindi, poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto (teorema 16), anche gli altri due rispettivi angoli sono congruenti: B AM C AM b. Se AM è altezza, allora AM è bisettrice M MA C MB A MC Ts: BA Ip: AB AC, A Infatti, come in a., anche in questo caso i due triangoli hanno due angoli congruenti e, quindi, (teorema 16) necessariamente hanno tutti gli angoli M MA C. congruenti. Ne segue che: BA c.v.d. Il teorema che ora dimostriamo pone in relazione i lati del triangolo con gli angoli a essi non adiacenti (cioè opposti ai lati stessi). TEOREMA 21 In ogni triangolo, se due lati non sono congruenti, allora al lato maggiore è opposto l angolo maggiore; viceversa, se due angoli non sono congruenti, allora all angolo maggiore è opposto il lato maggiore. Dimostrazione Il teorema si compone di due proposizioni, l una inversa dell altra. a. A lato maggiore è opposto angolo maggiore >B Ip: AB > AC Ts: C 100