ARITMETICA E ALGEBRA esempio O Risolvi il seguente sistema con il metodo del confronto. 2x y + 3 = 0 {3x y 2 = 0 APPROFONDIMENTO A Il metodo del confronto può essere visto come un caso particolare del metodo di sostituzione in cui alla sinistra di una delle due equazioni si sostituisce l espressione che compare a destra dell altra. Cioè dato il sistema y = ax + b {y = cx + d sostituendo, per esempio, ax + b alla y della seconda equazione otteniamo y = ax + b {ax + b = cx + d che si risolve come abbiamo già visto. Osserviamo che, poiché nelle due equazioni l incognita y ha coefficiente 1, è possibile esplicitarle entrambe rispetto a y e scrivere il sistema nella forma: y = 2x + 3 {y = 3x 2 Quindi le due espressioni a destra devono essere uguali: 2x + 3 = 3x 2 Risolviamo così una equazione di primo grado in una incognita: 2x + 3 = 3x 2 x=5 Sostituiamo il valore di x in una qualunque delle due equazioni del sistema per trovare il valore corrispondente di y. Per esempio, sostituendo nella prima, otteniamo: y=2 5+3 y = 13 La coppia ordinata (5 ; 13) è perciò la soluzione del sistema. Ovviamente il metodo del confronto si applica anche quando il sistema può essere così riscritto, esplicitandolo rispetto all incognita x: x = ay + b { x = cy + d Quindi, anche se le equazioni si presentano in forma implicita, possiamo esplicitarle entrambe rispetto alla stessa variabile e applicare poi questo metodo. esempio O Risolvi il seguente sistema con il metodo del confronto. x + y = 3 {x 3y + 1 = 0 Poiché l incognita x compare, in entrambe le equazioni, con coefficiente 1 è conveniente, al fine di una semplificazione dei calcoli, esplicitare proprio questa incognita; naturalmente si tratta di una scelta arbitraria: nulla cambierebbe esplicitando la y. Il sistema diventa: x = 3 y { x = 3y 1 FISSA I CONCETTI Metodo del confronto: si usa quando le due equazioni sono esplicitate rispetto alla stessa variabile. 10 Confrontiamo le due espressioni a destra e otteniamo: 3 y = 3y 1 4y = 4 y = 1 Sostituendo nella prima equazione otteniamo: x=3 1 x=2 La soluzione è (2 ; 1).