2 I numeri reali Estremo inferiore e minimo In modo simile possiamo definire l estremo inferiore e il minimo di un sottoinsieme. DEFINIZIONE Un elemento x di un insieme K (totalmente ordinato) è l estremo inferiore di un suo sottoinsieme S se e solo se: Q non esistono elementi di S minori di x; Q x è il maggiore tra tutti gli elementi di K che soddisfano la precedente condizione. In simboli: x = inf(S). KEYWORDS K e estremo inferiore / infimum minimo / minimum Se l estremo inferiore appartiene al sottoinsieme S, allora è il suo minimo e scriviamo: x = min(S) esempio 1 O Nell insieme Q consideriamo il sottoinsieme F delle frazioni del tipo __ (con n n N e n > 1): _1_, _1_, _1_, _1_, _1_, ... 2 3 4 5 6 Nessuna di queste frazioni è minore di 0; il numero 0 è inoltre il più grande numero razionale minore di ognuna di esse. 1 Abbiamo quindi: 0 = inf(F). Il numero 0 non è però una frazione del tipo __: n l insieme F non ha perciò minimo. FISSA I CONCETTI x K è estremo superiore (inferiore) del sottoinsieme S se e solo se non esistono elementi di S maggiori (minori) di x, e x è il minore (maggiore) tra gli elementi di K che hanno tale proprietà. x = max (S) se x S e x = sup (S) x = min (S) se x S e x = inf (S) L ordinamento continuo Ritorniamo ora al problema centrale di questo paragrafo: in che cosa consiste la continuità? Come precisiamo matematicamente l idea che la retta è continua? Consideriamo una retta ordinata e operiamone una particolare partizione, suddividendola in due sottoinsiemi, o, come si usa dire, in due classi: la classe A e la classe B. La partizione è fatta in modo tale che ogni elemento della prima classe (A) è minore di ogni elemento della seconda classe (B). ATTENZIONE! A U partizione di un insieme è Una formata da sottoinsiemi dell insieme, ciascuno non vuoto, tali che i sottoinsiemi sono a due a due disgiunti e la loro unione forma l intero insieme. come se pensassimo di tagliare la retta (facendone così una sezione) in due parti A e B: A B Secondo la nostra idea di continuità, non è possibile che A abbia un punto H come massimo e che B abbia un punto K come minimo: A H K B Se così fosse, infatti, riunendo le due parti il punto K verrebbe a essere il successivo del punto H: A HK B 99