ALGEBRA Avremmo così una situazione di discretezza (K successivo di H) contraria alla nostra idea intuitiva di continuità. D altra parte, neppure è possibile che, operato il taglio, A non abbia il massimo e B non abbia il minimo, perché, se così fosse, riunendo le due parti otterremmo un buco: A KEYWORDS K el elemento di separazione / separation element B Se ci fosse tale buco, sulla retta non esisterebbe un elemento che contemporaneamente è maggiore di tutti quelli di A e minore di tutti quelli di B. Non esisterebbe un punto che nettamente separa o che permette di saldare le due classi. La continuità consiste, invece, proprio nella garanzia che esista un elemento di separazione delle due classi, cioè un elemento che è estremo superiore della classe A ed estremo inferiore della classe B: sup(A) = inf(B) Esso deve esistere, comunque si costruiscano due classi con le caratteristiche enunciate. Un insieme ha un ordinamento continuo se, comunque consideriamo una sua partizione in due classi come le precedenti, esiste un loro elemento di separazione. L assioma della continuità della retta Per stabilire la proprietà di continuità come caratteristica della retta, poniamo il seguente assioma, il cui enunciato fu formulato dal matematico Richard Dedekind. ASSIOMA (di Dedekind della continuità della retta) Data una qualunque partizione della retta in due classi A e B, in cui ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B, abbiamo una soltanto delle due seguenti situazioni: Q A ha un massimo e B non ha un minimo: A ATTENZIONE! A L retta è il modello di un qualsiasi La insieme continuo lineare. Analogamente possiamo considerare il piano come modello di un insieme continuo a due dimensioni. Q B A non ha un massimo e B ha un minimo: A B Questo elemento (il massimo nel primo caso, il minimo nel secondo) è chiamato elemento separatore delle due classi. Un insieme totalmente ordinato, denso, e in cui, per ogni partizione, esiste un unico elemento separatore, viene detto insieme continuo. La retta è un insieme continuo: la consideriamo come modello di ogni altro insieme continuo. L assioma di Dedekind attribuisce, infatti, alla retta la sua caratteristica di continuità. 100