2 I numeri reali FISSA I CONCETTI I protagonisti della matematica Assioma della continuità della retta. Data una qualunque partizione della retta in due classi A e B, in cui ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B, abbiamo una soltanto delle due seguenti situazioni: A ha un massimo e B non ha un minimo; A non ha un massimo e B ha un minimo: Questo elemento (il massimo nel primo caso, il minimo nel secondo) è chiamato elemento separatore delle due classi. Q Insieme con ordinamento continuo: ha infiniti elementi; è denso; per ogni partizione ordinata esiste, ed è unico, un elemento separatore. Q Richard Dedekind (1831-1916) laureato in matematica (Gottinga nel 1854), ha insegnato al politecnico di Zurigo (1862), poi in quello di Brunswick (dal 1862). Fu mosso dall esigenza di dare rigore formale alla matematica, la stessa che aveva animato altri matematici precedenti come Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) e che sarà seguita dal suo contemporaneo Georg Cantor (1845-1918). In questa direzione, ha dato contributi fondamentali alla definizione del concetto di numero reale e alla sistemazione organica della teoria dei numeri. In particolare, ha fornito una definitiva sistemazione dei numeri irrazionali in Stetigkeit und irrationale Zahlen (Continuità e numeri irrazionali, 1872). Si è occupato anche di equazioni e funzioni algebriche, e di particolari funzioni dette funzioni ellittiche. Nel suo fondamentale saggio Was sind und was sollen die Zahlen? (formalmente Cosa sono i numeri e cosa dovrebbero essere? Pubblicato in italiano con il titolo Essenza e significato dei numeri, 1888) ha dato una prima sistemazione formale e assiomatica dell aritmetica. 3 Definizione e Esercizi da pag. 125 rappresentazione di R L insieme Q dei numeri razionali non è continuo L insieme dei numeri razionali Q, pur essendo denso sulla retta, non è un insieme continuo. Possiamo, infatti, individuare una sua partizione in due classi (con gli elementi della prima tutti minori di quelli della seconda) priva di elemento separatore. Consideriamo la partizione di Q nelle due seguenti classi A e B: A = Q {0} {x Q+ x2 2} B = {x Q+ x2 > 2} La classe A comprende, oltre a tutti i numeri razionali non positivi, quelli positivi il cui quadrato non supera 2. Sulla retta è così rappresentata: 3 2 1 0 1 22 3 ATTENZIONE! A D Dall assioma di Dedekind sappiamo che un insieme è continuo se per ogni sua partizione in due classi, in cui gli elementi della prima sono tutti minori degli elementi della seconda, esiste un elemento separatore. Per mostrare che un insieme non è continuo è sufficiente allora individuare una particolare partizione di questo tipo priva di elemento separatore. 4 La classe B comprende tutti i numeri razionali positivi il cui quadrato supera 2. Sulla retta è così rappresentata: 3 2 1 0 1 22 3 4 La classe A non ha massimo: __ non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia 2. Sai già, infatti, che 2 non può essere scritto come frazione e che, quindi, non è un numero razionale. Inoltre, l estremo superiore deve essere senz altro positivo e, dato un numero razionale positivo il cui quadrato è minore di 2, se ne può sempre trovare un altro maggiore e con la stessa caratteristica (e, quindi, anch esso appartenente ad A). 101