ALGEBRA esempi O Nell insieme dei numeri naturali N considera il sottoinsieme S formato da tutti i numeri che nel sistema decimale sono scritti con due cifre. Qual è l estremo superiore di S? Abbiamo: 99 = sup(S) Infatti: Q non esistono numeri naturali a due cifre maggiori di 99; Q 99 è il minore tra tutti i numeri naturali minori o uguali (cioè non maggiori di) a 99. In questo caso, l estremo superiore appartiene al sottoinsieme S. O Nell insieme dei numeri razionali Q considera il sottoinsieme Q dei numeri razionali negativi. Qual è l estremo superiore di Q? Abbiamo: 0 = sup(Q ) Infatti: Q non esistono elementi di Q maggiori di 0; Q 0 è il minore tra tutti i numeri razionali non negativi. In questo caso, 0 non appartiene al sottoinsieme di cui è estremo superiore. Come abbiamo visto nei due esempi precedenti, l estremo superiore di un sottoinsieme può appartenere o meno al sottoinsieme stesso. kkeywords massimo / maximum m Quando un elemento x appartiene al sottoinsieme S di cui è estremo superiore, esso è chiamato massimo dell insieme. Allora scriviamo: x = max(S) Un insieme può avere un estremo superiore, pur senza avere un massimo. Nel secondo esempio considerato, infatti, 0 è un estremo superiore ma non è un massimo, poiché non appartiene all insieme. esempi O Nell insieme R dei punti della retta considera il sottoinsieme A formato da tutti i punti che precedono un punto Q fissato: A = {P R | P < Q} Q Qual è l estremo superiore di A? anche il suo massimo? Osserviamo dal disegno che: Q = sup(A) Il punto Q è l estremo superiore di A, ma, poiché non gli appartiene, non è il suo massimo: il sottoinsieme A non ha massimo. O Nell insieme R dei punti della retta considera il sottoinsieme A formato da tutti i punti che non seguono un punto Q fissato: A = {P R | P Q} Q Qual è l estremo superiore di A ? anche il suo massimo? Il punto Q è l estremo superiore di A ed è anche il suo massimo perché gli appartiene. Il sottoinsieme A , quindi, ha un massimo: il punto Q. 98