2 I numeri reali La caratteristica di «continuità è però più forte della caratteristica di «densità : un insieme con un ordinamento denso può non avere un ordinamento continuo. Consideriamo, per esempio, una retta in cui sia stato introdotto un sistema di riferimento, e quindi un ordinamento: 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Togliamo a questa retta il punto di ascissa x = 3. Otteniamo così l insieme dei punti la cui ascissa è diversa da 3 (x 3): 4 3 2 1 0 1 2 4 5 6 7 Questo insieme non può essere considerato continuo, perché, avendo un buco nel punto di ascissa 3, non può essere tracciata una linea, senza mai sollevare la penna dal foglio. però un insieme denso: presi due punti, uno a sinistra del punto di ascissa 3 e l altro alla sua destra, comunque vicini, possiamo sempre trovare un terzo punto dell insieme compreso tra i due. Per esempio, se i punti hanno rispettive ascisse x = 2,999 e x = 3,001, possiamo scegliere il punto di ascissa x = 2,9991. Questo insieme, non continuo, è perciò denso. esempio O Considera l insieme R Z, formato cioè da tutti i numeri reali che non sono interi. denso nel suo ordinamento? continuo da un punto di vista intuitivo? FISSA I CONCETTI Q L insieme è formato da infiniti segmenti unitari privi degli estremi: 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Non è continuo in infiniti punti, ma è ovunque denso perché comunque prendiamo due suoi elementi se ne trova uno diverso compreso tra essi. Q Un insieme è ordinato in modo discreto se è finito, oppure se, di ogni suo elemento, esiste il successivo. Un insieme è ordinato in modo denso se dati due qualunque suoi elementi distinti ne esiste uno intermedio. Gli estremi, i massimi e i minimi Prima di procedere alla definizione di «ordinamento continuo , occorre introdurre alcune definizioni valide per qualunque insieme totalmente ordinato. Per comprenderle, è opportuno riferirsi al modello della retta ordinata, ai suoi elementi (i punti) e ai suoi sottoinsiemi. Estremo superiore e massimo DEFINIZIONE Dato un insieme K (totalmente ordinato), un suo elemento x è detto estremo superiore di un sottoinsieme S di K se e solo se: Q non esistono elementi di S maggiori di x; Q x è il minore tra gli elementi di K che soddisfano la precedente condizione. In simboli x = sup(S) KEYWORDS K e estremo superiore / supremum L estremo superiore di un sottoinsieme ordinato S è il più piccolo elemento che non può essere superato. 97