ALGEBRA L ordinamento discreto e l ordinamento denso Intuitivamente, un insieme è discreto se i suoi elementi sono isolabili l uno dall altro e l insieme risulta avere una struttura granulare. Se un insieme è totalmente ordinato, la discretezza implica la possibilità di identificare per ogni elemento il suo successivo (eccettuato al più l ultimo elemento, se l insieme è finito): La freccia indica il passaggio all elemento successivo Riusciamo, quindi, a dare una precisa definizione matematica dell idea di discretezza: un insieme è discreto se è finito oppure se è possibile ordinarlo totalmente in modo che, per ogni suo elemento, esiste il successivo. APPROFONDIMENTO A U insieme totalmente ordinato è Un anche detto linearmente ordinato, proprio per la possibilità di passare al successivo di ogni elemento. KEYWORDS K ddenso / dense Così, l insieme N dei numeri naturali e l insieme Z dei numeri relativi sono discreti nel loro ordinamento naturale. L insieme Q dei numeri razionali invece non è naturalmente ordinato in modo discreto. Infatti, dato un numero razionale, non si può stabilire quale sia il suo successivo. Inoltre, dati due numeri razionali distinti, a e b, con a < b, esiste sempre un numero c che sta fra i due: a < c < b. Per questa sua caratteristica, l ordinamento di Q è detto denso. esempio O Dimostra che un insieme con ordinamento denso ha necessariamente un numero infinito di elementi. Indichiamo con il simbolo < la relazione di ordinamento. Se l insieme è ordinato in modo denso, allora dati a, b, con a < b, esiste un elemento c1 tale che a < c1 < b, ma allora esiste anche un elemento c2 tale che a < c2 < c1. La procedura può continuare all infinito e quindi tra due qualunque elementi distinti dell insieme, come a e b, esistono infiniti elementi distinti. L idea intuitiva di «continuità e la densità Da un punto di vista intuitivo o, meglio, pre-matematico, possiamo dire che una linea è continua se può essere tracciata senza mai staccare la penna dal foglio. Precisare e definire matematicamente tale idea di continuità non è facile. Anche in questo caso conviene partire da ciò che, intuitivamente, riteniamo essere, tra gli insiemi totalmente ordinati, l oggetto continuo più elementare: la retta. Consideriamo una retta ordinata: in essa possiamo stabilire quando un punto P precede un punto Q (e scriviamo P < Q) oppure quando un punto P non segue un punto Q (e scriviamo P Q): P Q Innanzitutto, osserviamo che, secondo un adeguata idea di continuità, non possiamo dire, dato un punto, quale sia il suo successivo. Dobbiamo ammettere che un insieme continuo sia almeno denso: dati due punti distinti P e P , con P < P , vicini quanto si vuole, esiste sempre un punto Q compreso tra i due: P < Q < P : P Q P 96