2 I numeri reali Per cui: a2 2 = __2 a2 = 2b2 a2 è un numero pari anche a è pari b possiamo scrivere a = 2c (con c qualsiasi numero naturale) elevando al quadrato a2 = 4c2 4c2 = 2b2 2c2 = b2 b è pari anche b è pari a e b hanno 2 come fattore comune (contraddizione perché per ipotesi sono primi tra loro). __ Siamo così giunti a una contraddizione. Quindi 2 Q. c.v.d. 2 Per la dimostrazione del caso generale il procedimento è analogo e la puoi trovare nell Approfondimento online. _ 3 In modo analogo potremmo dimostrare che se n non è un cubo perfetto allora n è un numero irrazionale e così via per ogni radicale. Oltre ai numeri irrazionali introdotti attraverso le radici ci sono poi tutti quelli che si possono immaginare come numeri decimali infiniti e non periodici. Approfondisci Dimostrazione del teorema (dei numeri irrazionali): caso generale FISSA I CONCETTI Q Q I numeri irrazionali non possono essere scritti come frazioni. L insieme dei numeri irrazionali è infinito. 2 La continuità Esercizi da pag. 123 Nello studio dei fenomeni fisici e naturali spesso sono state contrapposte o affiancate teorie che vedevano la costituzione ultima della materia come un qualcosa di «discreto (gli atomi, i quanti di energia, le particelle) e teorie che privilegiavano un idea di «continuità dei fenomeni reali. Anche le tecnologie utilizzate per trasmettere ed elaborare informazioni, per riprodurre suoni e immagini, privilegiano talvolta la «discretezza e talvolta la «continuità . Per esempio, nella riproduzione delle immagini, mentre fino a qualche anno fa le tecniche fotografiche e cinematografiche erano prevalentemente tecniche continue, perché la luce con tutte le sue sfumature e tonalità impressionava con variazioni continue la pellicola, oggi le tecniche di ripresa con telecamere elettroniche sono tecniche discrete perché l immagine è registrata dopo essere stata scomposta in tanti piccoli quadratini, ognuno con il suo colore. La discretezza dell immagine, in questi ultimi casi, si osserva bene guardando lo schermo da vicino: l immagine ha una granularità a piccoli quadrati (in inglese pixel). Anche per i tachimetri, le bilance, gli orologi e per tutti gli strumenti di misura, possiamo distinguere tra strumenti discreti e strumenti continui. Gli strumenti discreti sono spesso chiamati digitali perché rappresentano o elaborano l informazione attraverso cifre (in inglese digit) (fig. a.). Gli strumenti continui sono spesso chiamati analogici perché danno la misura di una grandezza fisica attraverso la misura di un fenomeno fisico analogo, senza alcuna elaborazione numerica: per esempio, in un termometro analogico la temperatura si ricava dalla lettura dell angolo che la lancetta del termometro forma sul quadrante (fig. b.). Le categorie del discreto e del continuo sono dunque categorie generali di riferimento di cui ci avvaliamo per indagare, descrivere o progettare cose. Di tali idee generali (come dell idea di numeri per contare o dell idea di infinito o di ordinamento), la matematica cerca sempre di precisare il significato, partendo dall intuizione che se ne ha per arrivare a definizioni rigorose. a. b. a. Termometro discreto (digitale) e b. termometro continuo (analogico). 95