ALGEBRA L insieme I dei numeri irrazionali __ __ Numeri quali , 2, 3, ..., che incontriamo più frequentemente, rappresentano soltanto un sottoinsieme dell insieme I dei numeri irrazionali. Nella costruzione di numeri irrazionali possiamo, infatti, agire con molta libertà: qualsiasi regola che permetta di costruire un numero decimale non periodico è una regola di definizione di un numero irrazionale. esempio O Sono qui date tre regole per scrivere tre numeri decimali. Quali dei tre numeri generati sono irrazionali? a. La parte intera è 1. La n-esima cifra della parte decimale è 0 se n è pari, è 1 se n è dispari. b. La parte intera è 1. La n-esima cifra della parte decimale è 0 se n è un quadrato perfetto, è 1 se n non è un quadrato perfetto. c. La parte intera è 1. La n-esima cifra della parte decimale è 0 se n è un numero primo, è 1 se n non è un numero primo. a. Il numero generato è: 1,10101010... = 1,¯ 10 un numero periodico e quindi è razionale. Corrisponde alla frazione 109 ____ . 99 b. Il numero generato è: 1,011011110111111011... Essendo gli zeri nei posti 1°, 4°, 9°, 16°, ... diventano via via più rarefatti; nessun gruppo di cifre si ripete uguale all infinito e quindi il numero, non essendo periodico, è irrazionale. c. Il numero generato è: 1,10010101110101110... Non essendovi regolarità costante nella distribuzione dei numeri primi, il numero generato non è periodico e quindi è irrazionale. La necessità di considerare numeri non razionali nasce da alcuni problemi particolari, quali, per esempio, la ricerca del rapporto tra circonferenza e diametro, che dà luogo__a , oppure quella del rapporto tra diagonale e lato del quadrato che dà luogo a 2. Ma, una volta definiti, i numeri irrazionali costituiscono un insieme numerico infinito, indicato con I, indipendentemente dai problemi che hanno portato a considerare la necessità della loro introduzione. Come vedremo, è un insieme più numeroso di Q. Per giustificare questa affermazione, abbiamo un importante teorema. TEOREMA (dei numeri irrazionali) Se n è un _ numero naturale (diverso da 0) e non è un quadrato perfetto, allora n è un numero irrazionale. __ Ip: n N, n 0 e n a2 con a N Ts: n è irrazionale Dimostrazione __ Dimostriamo il teorema per assurdo con n = 2. Quindi supponiamo che 2 sia __ a a razionale, cioè che esista __ Q tale che: 2 = __ (con a e b primi tra loro, cioè b b senza fattori comuni). Elevando al quadrato abbiamo: a2 2 = __2 b 94