2 I numeri reali In realtà, è possibile scrivere anche i numeri finiti come numeri infiniti periodici. Infatti, poiché l aggiunta di zeri alla destra di un numero decimale finito non ne modifica il valore, possiamo considerare ogni numero decimale finito come numero periodico di periodo 0. Per esempio, le scritture: 0 0,5 0,50 0,500 0,50000000 0,5¯ 1 rappresentano lo stesso numero razionale. In frazione è __. 2 Scritti in forma decimale, perciò, i numeri sono tutti di lunghezza infinita e si distinguono in due fondamentali classi: i periodici e i non periodici. KEYWORDS K p periodici / periodic non periodici / non periodic A queste due classi (i periodici e i non periodici) corrispondono due possibilità: che il numero possa essere scritto o meno sotto forma di frazione. TEOREMA (coincidenza tra numeri periodici e frazioni) Un numero è periodico se e solo se può essere scritto come frazione. Per dimostrare il teorema occorre dimostrare che: a. se un numero è periodico, allora si può scrivere come frazione; b. a ogni frazione corrisponde un numero periodico. La frazione corrispondente a un numero periodico è detta frazione generatrice del numero. Approfondisci Dimostrazione del teorema (coincidenza tra numeri periodici e frazioni) KEYWORDS K fr frazione generatrice / generating fraction La prima parte del teorema afferma che a ogni numero periodico corrisponde una frazione, sua generatrice. Vediamo con alcuni esempi come determinare la frazione generatrice di un numero periodico. esempi O Determina la frazione generatrice del numero 0,4¯ 35. Indicata con x la frazione da trovare scriviamo il numero ripetendo le cifre periodiche come: x = 0,4353535 In questo caso la parte intera è uguale a 0, l antiperiodo è 4 e il periodo è 35. Moltiplichiamo il numero x per 102 (perché due sono le cifre del periodo) e sottraiamo il numero stesso, per ricondurre il numero periodico a decimale finito. Ottieniamo: 100x = 43,53535 x = 0,43535 99x = 43,1 Moltiplichiamo sia a destra sia a sinistra del predicato = per 101 (perché una è la cifra dell antiperiodo) per ottenere numeri interi e determiniamo il valore di x. Quindi: 431 990x = 431 x = ____ 990 O Determina la frazione generatrice del numero 24,3. Il numero è decimale finito (il suo periodo è uguale a 0). 91