ALGEBRA Esercizi da pag. 120 1 I numeri irrazionali In questa unità formalizzeremo il concetto di numero reale con il quale hai già avuto modo di lavorare al biennio. Per rendere possibile questa procedura, dobbiamo risalire ai motivi che hanno portato a introdurre i numeri reali, in particolare alla necessità di ampliare l insieme dei numeri razionali, con l introduzione dei numeri irrazionali. Il sistema posizionale a base dieci KEYWORDS K si sistema posizionale a base dieci / base-10 positional system I numeri con i quali operiamo sono scritti utilizzando il sistema posizionale a base dieci: Q posizionale perché le cifre assumono un valore diverso a seconda della posizione che occupano (unità, decine, centinaia, ...; decimi, centesimi, ...); Q a base dieci perché vengono usate dieci cifre e ogni posto rappresenta una potenza di 10. APPROFONDIMENTO A In realtà anche nel sistema di scrittura romano dei numeri c è qualche convenzione di tipo posizionale: scrivere un simbolo prima di un altro che indica un numero d ordine maggiore vuol dire sottrarlo a esso, scriverlo alla sua destra vuol dire addizionarglielo. Così, per esempio, IC indica sottrarre 1 a 100, quindi 99; mentre CI indica 101 (si è addizionato 1 a 100). FISSA I CONCETTI Sistema posizionale decimale: 10 cifre con valore diverso in base alla posizione occupata: ogni posto indica una potenza di 10. Il sistema posizionale a base dieci è solo uno tra i possibili modi di scrittura di un numero. Come certamente già sai, il sistema di scrittura numerica romano, per esempio, non è posizionale. Esistono, inoltre, anche sistemi posizionali con basi diverse da dieci, come il sistema binario che è a base due, ha solo due cifre, 0 e 1, e ogni posto in tale sistema indica una potenza di 2. Il nostro sistema di scrittura si è universalmente affermato perché è tra i più economici: infatti permette di scrivere qualsiasi numero usando pochi simboli e di fare le operazioni molto facilmente. I numeri periodici e non periodici APPROFONDIMENTO A P Potremmo pensare di definire un numero periodico come un numero in cui le cifre sono ripetute con regolarità, ma la richiesta di regolarità è meno forte della richiesta di periodicità. Per esempio, il numero 0,01001100011100001111... che prosegue aggiungendo alternativamente un numero di 0 e di 1 sempre maggiore, è molto regolare, tanto da poter essere descritto facilmente da una procedura algoritmica, ma non è periodico. Q Come sai per indicare la periodicità delle cifre 45 mettiamo una linea sopra. Il numero, quindi, può essere 45. scritto: 73,20¯ Q 90 Utilizzando il sistema posizionale a base dieci, possiamo definire numero una qualunque stringa formata con le dieci cifre 0, , 9 e la virgola decimale. La virgola separa la parte intera (a sinistra) dalla parte decimale (a destra). La parte intera ha necessariamente un numero finito di cifre, mentre la parte decimale può essere formata da un numero finito o infinito di cifre. Per esempio: 325,37405 parte intera parte decimale finita Nel caso in cui la parte decimale sia infinita, è possibile che un gruppo di cifre si ripeta sempre uguale a sé stesso oppure che nella successione di cifre non ci sia alcun gruppo che si ripete. Se un gruppo di cifre si ripete sempre uguale a sé stesso all infinito, il numero è detto periodico. Per esempio: nel numero 73,204545454545454545454545 45 , il gruppo di cifre 45 si ripete sempre uguale a sé stesso. Le cifre 45 rappresentano la parte periodica del numero formato da infinite cifre decimali.