ALGEBRA Calcola il resto delle seguenti divisioni senza eseguirle. esercizio svolto (3x4 5x3 + 5x2 + x 2) : (3x 2) Il divisore non è della forma (x k). Dividendo il polinomio dato, che indichiamo con p(x), per 3x 2 otteniamo: p(x) = q(x) (3x 2) + r 2 Se nell uguaglianza precedente alla variabile x sostituiamo __, abbiamo: 3 2 2 2 p(__) = r p(__) = q(__) 0 + r 3 3 3 2 Quindi per trovare il resto r dobbiamo sostituire a x il valore __, cioè il valore per cui 3x 2 = 0. 3 Si ha: 2 16 8 4 2 p(__) = 3 ___ 5 ___ + 5 __ + __ 2 = 0 3 9 3 81 27 278 (2x3 + 3x2 1) : (2x 1) 279 (25x4 5x3 12x2 4) : (5x + 3) [0] 281 (4x3 + 9x2 29x + 10) : (4x 3) [ 5] [ 4] 282 (10x4 + 4x3 25x + 2) : (5x + 2) [12] _7_ 280 (x3 3x2 + 5x 1) : (2x 1) [8] 283 (3x6 + x5 + 3x4 8x3 2x 1) : (3x + 1) [0] Senza eseguire la divisione, stabilisci se il polinomio p(x) è divisibile per il binomio q(x). esercizio svolto p(x) = x3 + 5x2 + 8x + 4 q(x) = x + 2 Il polinomio p(x) è divisibile per q(x) se e solo se il resto della divisione di p(x) per q(x) è uguale a zero. Per il teorema di Ruffini tale resto è: p( 2) = ( 2)3 + 5 ( 2)2 + 8( 2) + 4 = 8 + 20 16 + 4 = 0 Pertanto p(x) è divisibile per q(x). 284 p(x) = x3 + 3x2 17x + 18 q(x) = x 2 [no] 285 p(x) = x4 3x3 + 2x2 2x + 1 q(x) = x 1 [no] 286 p(x) = 5x3 + 12x2 11x + 3 q(x) = x + 3 [no] 287 p(x) = 2x3 + 3x2 + 2x + 3 q(x) = 2x + 3 [sì] Esegui quanto richiesto. 288 Stabilisci quali dei seguenti polinomi sono divisibili per x 1: a. 3x3 2x2 5x + 4 b. 2x4 3x3 2x2 + 4 c. x4 17x +16 c. x3 4x2 2x +1 c. x4 1 289 Stabilisci quali dei seguenti polinomi sono divisibili per x +1: a. x3 4x2 + 2x +1 b. x3 + 4x2 + 2x 1 290 Stabilisci quali dei seguenti polinomi sono divisibili per x2 1: a. 62 x4 + x3 + x 1 b. 2x4 x3 + x 2