DATI E PREVISIONI L indice di correlazione lineare esercizio svolto Per studiare le caratteristiche di un elastico, lo si tiene sospeso per un estremo e si appendono all altro estremo diversi oggetti. Ogni volta si misura la massa m e il corrispondente allungamento h dell elastico. Si ottengono, pertanto, i valori riportati in tabella. m (g) 220 350 590 940 h (mm) 11 16 30 47 Verifica se esiste dipendenza lineare tra le due grandezze e determina l eventuale retta di regressione. La dipendenza lineare tra i due caratteri X e Y, ossia l allungamento dell elastico e la massa dell oggetto si stima attraverso l indice di correlazione lineare di Bravais-Pearson, definito da: COVAR(X, Y) r =____________ (X) (Y) n x i (xi x¯)(yi y¯) __________ n (xi x¯)2 __________ n (yi y¯)2 i=1 i=1 i=1 dove COVAR(X, Y) = _________________ , (X) = _______________ , (Y) = _______________ n n n Completiamo la tabella dei dati aggiungendo le colonne degli scarti dai rispettivi valori medi, i prodotti degli scarti delle due grandezze, e i quadrati dei singoli scarti. Nell ultima riga si calcolano le medie di tutti i dati in colonna. h (mm) m (g) ¯ hi h ¯ mi m ¯)(mi m ¯) (hi h ¯ )2 (hi h ¯)2 (mi m 11 220 15 305 4575 225 93 025 16 350 10 175 1750 100 30 625 30 590 4 65 260 16 4225 47 940 21 415 8715 441 172 225 26 525 0 0 3825 195,5 75 025 Media _3825_ 0,9987 1, quindi esiste una forte correlazione lineare; inoltre la Otteniamo pertanto r = ___________________ 195,5 75 025 dipendenza è di tipo crescente, in quanto r > 0. Possiamo pertanto determinare la retta di regressione; il coefficiente angolare risulta essere uguale a: COVAR(h, m) 3825 m = _____________ = _______ 19,57 VAR(h) 195,5 L equazione della retta di regressione è del tipo: COVAR (h, m) 3825 ¯ y = _____ (h 26) + 525 y = _____________ (h h¯) + m VAR(h) 195,5 90 y = 19,57 (h 26) + 525 Questi sono i dati relativi alle distanze e ai consumi di carburante di una determinata automobile. Esprimi il consumo di questa automobile in litri ogni 100 chilometri. Consumo (L) 41 84 115 165 204 245 293 310 Distanza (km) 630 1165 1815 2380 3220 3505 4510 4775 [dal coefficiente della regressione dei minimi quadrati si deriva il consumo richiesto: 6,51] 570