10 Elementi di Statistica C. Occorre ora determinare il coefficiente angolare m. Determiniamo i valori x i e y i applicando la traslazione di vettore v = ( 0,88 ; 0,31): x = x 0,88 {y = y 0,31 I valori x i e y i ottenuti sono riportati nella seguente tabella: x i 0,63 0,38 0,13 0,12 0,37 0,62 y i 0,23 0,14 0,06 0,07 0,12 0,23 Sostituendo i valori nella formula possiamo determinare il valore di m: ( 0,63) 0,23 + ( 0,38) 0,14 + ( 0,13) 0,06 + 0,12 0,07 + 0,37 0,12 + 0,62 0,23 _ 0,40 m = _______________________________________________________________________ 0,37 1,09 ( 0,63)2 + ( 0,38)2 + ( 0,13)2 + (0,12)2 + (0,37)2 + (0,62)2 La retta di regressione dell esempio è dunque: y = 0,37x + 0,31 0,37 0,88 y = 0,37x 0,02 Con un errore trascurabile essa può essere così scritta: y = 0,37x Tale retta è qui disegnata in nero: Y 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 X La formula per m cui siamo giunti qui sopra è indipendente dal particolare esempio. Indicando con x¯ e y¯ le medie delle distribuzioni X e Y, possiamo pertanto dire che la retta di regressione con il metodo dei minimi quadrati ha equazione: n y y = (xi x) (yi y) i=1 n (xi x) 2 (x x) i=1 Osserviamo che la sommatoria al denominatore è uguale a n volte la varianza della distribuzione X (vedi Indici di variabilità nel par. 1). La sommatoria al numeratore indica invece la distribuzione ottenuta moltiplicando tra loro gli scarti dalle rispettive medie di valori aventi lo stesso indice. La media di tale distribuzione viene detta covarianza di due distribuzioni X, Y: KEYWORDS K n COVAR(X, Y ) = (xi x) (yi y) i=1 ATTENZIONE! A Ri Ricorda che la varianza di una distribuzione X è la media aritmetica dei quadrati degli scarti dalla media. indicata con VAR(X) e la sua radice quadrata è detta scarto quadratico medio, indicato con . La varianza è data dalla formula: n (x i x )2 i=1 ____________ VAR (X ) = = 2 n n c covarianza di due distribuzioni (X, Y) / covariance of two distributions (X, Y) 537