DATI E PREVISIONI L equazione della retta traslata è y = mx per la traslazione effettuata secondo il sistema di equazioni della traslazione di vettore v = ( x ; y ): x = x x {y = y y Applicare il metodo dei minimi quadrati consiste nel determinare m in modo tale che sia minimo il valore della somma: n n i=1 i=1 (y i y i)2 = (y i mx i)2 Poiché la somma di termini ognuno dei quali contiene addizioni è uguale alla somma dei singoli addendi, abbiamo: ATTENZIONE! A Il simbolo x rappresenta lo scarto dalla media x di ogni singolo valore x. Il simbolo y rappresenta lo scarto dalla media y di ogni singolo valore y. Nelle scritture qui a fianco non abbiamo scritto, per semplicità, gli indici delle sommatorie. Resta sottinteso che sono tutte per i che varia da 1 a n. (y i m x i)2 = (y i2 2m x i y i + m2 x i2) = = y i2 2m x i y i + m2 x i2 Poiché inoltre in una somma di termini è possibile mettere in evidenza, riordiniamo l espressione scrivendola nel seguente modo: = ( x i2) m2 (2 x i y i)m + ( x i2) Questa espressione ha come unica variabile m e quindi è una funzione di m. In particolare, è una funzione polinomiale di secondo grado: il suo grafico è una parabola con la concavità rivolta verso l alto (perché il coefficiente x i2 del termine di secondo grado è sempre positivo essendo la somma di quadrati). Il valore di m per cui è minima tale funzione (che indica la somma dei quadrati degli scarti) è perciò dato dall ascissa del vertice della parabola: x i y i 2 x i y i _________ = m = ascissa di V = _________ 2 2 x i x i2 f(m) V O m Applichiamo il metodo dei minimi quadrati al caso dell allungamento della molla analizzato all inizio del paragrafo, riportando la tabella di distribuzione dei dati. Massa X (kg) 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 Allungamento Y (m) 0,08 0,17 0,25 0,38 0,43 0,54 Seguiamo i seguenti passaggi. A. Determiniamo le coordinate del baricentro dei dati: 0,25 + 0,50 + 0,75 + 1,00 + 1,25 + 1,50 x = __________________________________________________ 0,88 6 0,08 + 0,17 + 0,25 + 0,38 + 0,43 + 0,54 y = __________________________________________________ 0,31 6 B. Determiniamo il fascio di rette passanti per il baricentro di coordinate (x¯ ; ¯ y), nel nostro caso (0,88 ; 0,31) y y¯ = m(x x¯) y 0,31 = m(x 0,88) y = mx + 0,31 m 0,88 La retta di regressione appartiene a tale fascio. 536