10 Elementi di Statistica Questo metodo è detto metodo dei minimi quadrati. KEYWORDS K m metodo dei minimi quadrati / least squares method y di = dati reali (dati osservati della tabella statistica): yi = dati teorici (dati della funzione matematica): y^i di = differenza tra dati osservati e dati teorici attesi O x Dopo aver rappresentato graficamente i dati e stabilito che essi possono essere approssimati da un modello lineare di cui ancora non conosciamo l equazione, indichiamo con yi ogni singolo valore osservato del carattere Y e con con y i il corrispondente valore teorico atteso, cioè quello che otterremmo con la legge lineare Y = mX + q che vogliamo leghi le variabili X e Y. A ogni valore xi questa legge associa il valore che abbiamo indicato con y i; la distanza tra il valore osservato e questo valore atteso è quindi (y i y i). Il metodo dei minimi quadrati consiste nel trovare quella funzione Y = mX + q, che renda minima la seguente misura dei quadrati delle distanze: n APPROFONDIMENTO A L funzione di regressione può La anche non essere lineare: in alcuni problemi può essere necessario trovare una funzione di regressione di secondo o terzo grado o altro ancora. Per questo, in termini generali, scriviamo che la funzione è del tipo Y = f(X) e la somma da rendere minima è: n ((y i f( x i))2 i=1 (y i y i)2 i=1 Questa somma risulta nulla nel caso di dipendenza perfetta, cioè nel caso in cui i valori reali yi coincidano con i valori y i calcolati a partire da una legge matematica. In casi come questo, infatti, i punti teorici coincidono con quelli reali e ciascuna delle differenze yi y i risulta nulla. Possiamo dimostrare (anche se qui non lo facciamo) che tale retta deve passare y), cioè per il punto avente come coordinate le meper il baricentro dei dati (x¯ ; ¯ die aritmetiche delle due distribuzioni, e quindi la sua equazione è del tipo y y¯ = m(x x¯). La funzione di regressione riceve questo nome dal fatto che essa (graficamente) si colloca in posizione intermedia rispetto ai valori osservati facendone così diminuire, o regredire, le fluttuazioni. Il termine venne introdotto dallo psicologo inglese Francis Galton (1822-1911). Per determinare m, effettuiamo una traslazione in modo tale che il baricentro (x ; y) vada a coincidere con l origine. y valore teorico valore osservato O x 535