DATI E PREVISIONI L indice 2 ha un valore minimo uguale a 0 nel caso di indipendenza assoluta dei due caratteri; il suo massimo dipende però dal numero n delle unità statistiche e dal numero delle modalità assunte dai caratteri. Dall indice chi quadrato ricaviamo un nuovo indice che, essendo diviso per il numero n delle unità statistiche, risulta indipendente dall unità di misura delle frequenze: 2 =_ n KEYWORDS K c contingenza quadratica media / mean quadratic contingency Questo nuovo indice, indicato con la lettera greca maiuscola (phi), prende il nome di contingenza quadratica media; è nullo in caso di indipendenza assoluta e tanto più è vicino a 0 quanto più la connessione tra caratteri è debole, cioè i caratteri sono vicini all indipendenza reciproca. Nell esempio preso in esame il numero n delle unità statistiche è 105 quindi: 9,72 = ____ 0,09 105 Il valore di è vicino a 0, per cui possiamo dire che i due caratteri sono scarsamente connessi, cioè che non è ipotizzabile una significativa difformità nei metodi di valutazione dei diversi insegnanti. Sia 2 sia hanno un minimo costante, qualunque sia il fenomeno in esame: è 0 nel caso di indipendenza assoluta (ipotesi nulla) tra due caratteri. I due indici non hanno però un massimo precisato. Per questo motivo come indice di dipendenza tra due caratteri viene usato un altro, detto indice di contingenza di Cramér, così definito: 2 C = _= _ n(h 1) (h 1) in cui h è il minore tra il numero delle righe e quello delle colonne. possibile dimostrare che C varia tra 0 (indipendenza assoluta) e 1 (dipendenza massima), qualunque sia la distribuzione congiunta: esso permette così di confrontare la maggiore o minore indipendenza tra caratteri diversi. Nell esempio considerato vi sono 6 righe e 4 colonne, quindi h = 4; pertanto: 2 0,09 0,09 C = _ = _ _ = _ = 0,03 n(h 1) (h 1) (4 1) 3 Poiché è un valore molto vicino a 0, possiamo concludere che tra voto in matematica e classe III frequentata non ci sia dipendenza. Riassumendo, per analizzare la dipendenza statistica tra due caratteri, procediamo in questo modo: Q costruiamo preliminarmente la tabella a doppia entrata delle frequenze dei due caratteri (comprese la riga e la colonna dei totali); Q quindi costruiamo: I. la tabella delle frequenze teoriche II. la tabella delle contingenze III. la tabella dei quadrati delle contingenze, divisi per le frequenze teoriche 526