10 Elementi di Statistica L indice chi quadrato e l indice di contingenza Una tabella a doppia entrata rappresenta una distribuzione doppia, o congiunta, di due caratteri X e Y che possono essere tra loro indipendenti oppure avere una qualche relazione. Diciamo che un carattere quantitativo X è in assoluto indipendente da un carattere Y se l insieme dei valori assunti da X non varia al variare della modalità yi. Quindi, il carattere X è indipendente in assoluto dal carattere Y se tutte le distribuzioni condizionate a una specifica modalità yi hanno la stessa distribuzione di frequenze relative, coincidente anche con quella marginale. y1 y2 y3 Totale y1 y2 y3 Totale x1 0,25 0,25 0,25 0,25 x1 0,20 0,25 0,30 0,28 x2 0,35 0,35 0,35 0,35 x2 0,45 0,40 0,30 0,45 x3 0,40 0,40 0,40 0,40 x3 0,35 0,35 0,40 0,27 Tot. 1,00 1,00 1,00 1,00 Tot. 1,00 1,00 1,00 1,00 Nella prima tabella è mostrato un esempio di indipendenza assoluta, come possiamo vedere anche dal modello grafico (fig. a.), mentre la seconda presenta alcune connessioni tra i due caratteri, in quanto le distribuzioni per colonna sono diverse l una dall altra (fig. b.). DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE E MARGINALI DEL CARATTERE X caratteri X e Y indipendenti in assoluto DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE E MARGINALI DEL CARATTERE X caratteri X e Y connessi 0,5 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0 x1 x2 x3 0 x1 x2 x3 x (y1) x (y2) x (y1) x (y2) x (y3) marginale x (y3) marginale N.B. X (yi ) indica la distribuzione di X condizionata a yi a. Modello di indipendenza assoluta di X da Y: per ogni modalità xi, la frequenza relativa è indipendente da ogni particolare modalità che può assumere il carattere Y. N.B. X (yi ) indica la distribuzione di X condizionata a yi b. Esempio di connessione tra le variabili X e Y: le distribuzioni per colonna sono diverse tra loro, per ogni modalità xi, la frequenza relativa è dipende dalla particolare modalità che può assumere il carattere Y. La dipendenza tra due caratteri può essere più o meno accentuata e il grado di dipendenza statistica può essere misurato da un indice. Vediamo come è possibile costruire tale indice attraverso un esempio. Supponiamo di aver rilevato i voti finali in matematica in quattro classi terze della stessa scuola. Vogliamo analizzare se il carattere voto in matematica è indipendente dal carattere classe frequentata. 523