DATI E PREVISIONI anche con VAR(X). Poichè la varianza è una media di numeri al quadrato abbiamo, qualunque sia la distribuzione di X: VAR (X) 0 Lo scarto quadratico medio è perciò sempre definito. La varianza è dunque: k ATTENZIONE! A In queste formule utilizziamo entrambi i simboli M(X) e x per indicare la media. VAR(X) = M((X x )2) = ( xi x )2 ai i=1 k ai i=1 APPROFONDIMENTO A Il calcolo della varianza può essere espresso in funzione dei dati originari e non degli scarti. Abbiamo infatti: VAR (X) = M ((X x )2) = = M (X 2 2Xx + x 2) Per la proprietà di linearità della media e ricordando che M(X) = x e che questo valore è costante, abbiamo: VAR(X) = M(X 2) M(2Xx ) + M(x 2) = = M(X 2) 2x M(X) + x 2 Cioè VAR(X) = M(X 2) x 2 La varianza può essere espressa anche con la formula VAR(X) = M(X2) x 2, la cui dimostrazione è riportata nell Approfondimento a lato. E quindi: __________ 2 = M(X ) x 2 Tra i due indici di variabilità quello che viene usato più spesso è lo scarto quadratico medio perché ha la stessa unità di misura dei dati che costituiscono l intera distribuzione, mentre l unità di misura della varianza è espressa con il quadrato. Lo scarto quadratico medio è una stima della distanza media dei dati dalla media. esempi O Calcola media, varianza e scarto quadratico medio della seguente distribuzione (prezzo in euro di un caffè in dieci locali in altrettante capitali europee). Città A Prezzo 1,60 B C D E F G H I L 1,85 2,00 1,75 2,50 3,15 1,75 1,40 1,70 2,00 Abbiamo: 1,6 + 1,85 + 2 + 1,75 + 2,5 + 3,15 + 1,75 + 1,4 + 1,7 + 2 M(X) = x = _____________________________________________________________________________ = 10 19,7 _ = = 1,97 10 Per calcolare varianza e consideriamo la distribuzione dei quadrati: Città A 2 Prezzo B 2,56 3,4225 C D 4 E F G H I 3,0625 6,25 9,9225 3,0625 1,96 2,89 L 4 Effettuando il calcolo otteniamo: M(X2) = 4,113 Abbiamo______ perciò: VAR(X) = M(X2) x 2 = 4,113 1,972 = 0,2321 = VAR(X) 0,482 VF VE VC O Per la partecipazione a una gara di matematica le scuole debbono inviare i nominativi di una squadra di 6 studenti di una stessa classe. Si attua perciò una selezione preliminare (attraverso un test con un massimo di 100 punti) e, sulla base della media dei migliori 6 punteggi, risultano tre squadre a pari merito. Sulla base di quale criterio può essere scelta la squadra da inviare alla gara? Squadra 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 L insieme degli scostamenti dalla media aritmetica dei punteggi di ciascuno studente, per una stessa classe, può essere sinteticamente evidenziato con un diagramma a barre multiple. 516 Punteggi degli studenti VC 73 76 77 85 88 90 VE 74 74 78 84 88 91 VF 72 77 79 82 84 95 La somma complessiva dei punteggi per ciascuna delle tre squadre è la stessa, cioè 489, e quindi anche la media aritmetica, che è uguale a 81,5.