10 Elementi di Statistica Lo scarto può essere positivo o negativo a seconda che il valore xi sia maggiore o minore della media. Vale il seguente teorema. TEOREMA (proprietà degli scarti) La somma algebrica degli scarti dalla media aritmetica è nulla. Approfondisci Dimostrazione del teorema (proprietà degli scarti) FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Q Q Media aritmetica semplice: è il rapporto tra la somma di tutte le modalità della variabile e il numero totale n delle unità. Media aritmetica ponderata: è il rapporto tra la somma di tutte le modalità della variabile, ciascuna moltiplicata per la rispettiva frequenza, e la somma di tutte le frequenze. Moda: è la modalità con frequenza maggiore. Mediana: è la modalità che separa in due insiemi di uguale numerosità una distribuzione ordinata. Proprietà di linearità della media M : M(pX + q) = p M(X) + q, con p, q R. La somma algebrica degli scarti dalla media aritmetica è uguale a zero. Gli indici di variabilità per una distribuzione statistica Media, moda e mediana informano solo in parte sull effettiva natura di un fenomeno perché questi indici non tengono conto della variabilità fra i dati. Ci sono distribuzioni che, pur avendo uno stesso valore di sintesi, per esempio la media aritmetica, sono invece molto diverse. I seguenti sono esempi di distribuzioni con lo stesso valore medio, 10: A = {10, 10, 10, 10, 10} B = {2, 5, 10, 15, 18} C = {8, 9, 10, 11, 12} La distribuzione A è composta da valori tutti uguali, mentre la distribuzione B è quella che presenta la maggiore differenza tra i valori minimo e massimo. DEFINIZIONE La differenza tra il valore massimo e il valore minimo di una distribuzione statistica di dati viene chiamata campo di variazione. KEYWORDS K c campo di variazione / variation range Nelle precedenti distribuzioni il campo di variazione: per A è 0 (tutti i valori sono uguali); per B è 18 2 = 16; per C è 12 8 = 4. Il campo di variazione è una delle forme più semplici di misura della dispersione di una distribuzione; esso, per esempio, assume particolare rilevanza nella valutazione di fenomeni meteorologici, per i quali si parla più propriamente di escursione termica, data dalla differenza tra temperatura massima e temperatura minima. Indici più significativi per misurare la variabilità di una distribuzione statistica sono la varianza e lo scarto quadratico medio, detto anche deviazione standard. DEFINIZIONE Si chiama varianza di una distribuzione la media aritmetica dei quadrati degli scarti dalla media. Si chiama scarto quadratico medio (o deviazione standard) la radice quadrata della varianza. KEYWORDS K v varianza / variation range scarto quadratico medio / standard deviation Lo scarto quadratico medio è generalmente indicato con il simbolo (lettera greca: sigma) e perciò la varianza è indicata con 2. Noi indicheremo la varianza 515