DATI E PREVISIONI Poiché le persone esaminate sono complessivamente 100, per determinare l altezza mediana dobbiamo considerare la media aritmetica tra le due posizioni centrali occupate dalle persone disposte per altezze crescenti (50-esima e 51-esima). Leggiamo dalla tabella che entrambe le posizioni si trovano nella classe 1,60 1,70. Quindi questa è la classe mediana. Proprietà della media Se alteriamo tutti i valori di una distribuzione statistica nello stesso modo, moltiplicandoli e addizionandoli con numeri uguali, la media si modifica di conseguenza. Supponiamo di avere questa distribuzione della variabile X: Modalità di X 1 2 3 4 5 Frequenza 3 4 6 2 1 _ Effettuando i calcoli otteniamo M(X) = x = 2,625. ATTENZIONE! A C Come abbiamo già detto, utilizziamo indifferentemente il simbolo x o M(X) per indicare la media della variabile statistica X. Consideriamo ora la variabile 2 X + 3, scrittura che indica che tutte le modalità di X sono moltiplicate per 2 e quindi addizionate a 3. Otteniamo: Modalità di 2 X + 3 5 7 9 11 13 Frequenza 3 4 6 2 1 Effettuando i calcoli otteniamo: M(2 X + 3) = 8,25 Abbiamo cioè: M(2 X + 3) = 8,25 = 2 2,625 + 3 = 2 M(X) + 3 Questa proprietà della media aritmetica vale in generale. Approfondisci TEOREMA (proprietà di linearità della media) Dimostrazione del teorema (proprietà di linearità della media) Se X è una variabile statistica e p, q R, allora abbiamo: M(pX + q) = p M(X) + q Per ogni valore xi della variabile statistica X, definiamo inoltre lo scarto dalla media, che indica il grado di scostamento del singolo valore da quello medio: KEYWORDS K s scarto dalla media / deviation from the average si = xi x Calcoliamo gli scarti dalla media dell esempio precedente aggiungendo una riga alla tabella: Modalità di X 1 2 3 4 5 Frequenza 3 4 6 2 1 Scarti dalla media 1 2,625 = 1,625 2 2,625 = 0,625 3 2,625 = 0,375 4 2,625 = 1,375 5 2,625 = 2,375 PROVA TU P V Verifica che la somma algebrica degli scarti dalla media nella tabella sopra è 0 (ricordati di moltiplicare ogni scarto per la frequenza). 514