9 coniche Consideriamo questi due tipi di problemi: I. Data una particolare conica (di cui si conosce o si può facilmente ricavare l equazione), trovare, in un insieme di rette, quella (o quelle) a essa tangente. La soluzione si ottiene considerando un sistema così formato: equazione della conica {equazione dell insieme di rette (in cui compare un parametro) II. Data una particolare retta (di cui si conosce l equazione), trovare, in un insieme di coniche, quella (o quelle) a essa tangente. La soluzione si ottiene considerando il sistema così formato: equazione dell insieme di coniche (in cui compare un parametro) {equazione della retta In ambedue i casi nell equazione risolvente (di secondo grado) ottenuta compare un parametro: si pone la condizione che il suo discriminante sia uguale a 0 e si individua così il valore (o i valori) del parametro che soddisfa tale condizione. In questo modo si individuano nel primo caso la retta (o le rette), nel secondo la conica (o le coniche) che ha la caratteristica richiesta. esempi O Determina l equazione della retta tangente nel punto T(3 ; 3) alla circonferenza di centro C( 1 ; 6). y C T 1 O 1 x Poiché conosciamo centro e punto di tangenza, possiamo calcolare il raggio come distanza tra C e T: ________________ d(C, T) = (3 + 1)2 + (3 6)2 = 5 L equazione della circonferenza è: x2 + y2 + 2x 12y + 12 = 0 L equazione del fascio di rette passante per T è: y 3 = m(x 3) y = mx 3m + 3, con m R Le intersezioni tra circonferenza e rette si trovano risolvendo il sistema di secondo grado: x2 + y2 + 2x 12y + 12 = 0 {y = mx 3m + 3 Ricaviamo così l equazione risolvente: (m2 + 1)x2 2(3m2 + 3m 1)x + 9m2 + 18m 15 = 0 479