GEOMETRIA Le intersezioni tra una retta e una conica Riassumiamo quanto stabilito nel precedente paragrafo: un sistema di secondo grado in due incognite è sempre formato da una equazione di secondo grado e una di primo grado. Nel caso più generale, è del tipo: a x2 + b y2 + cxy + dx + ey + f = 0 {gx + hy + i = 0 La prima equazione rappresenta nel piano cartesiano una conica, la seconda una retta. Quindi, ogni sistema di secondo grado in due incognite può essere interpretato come la forma algebrica del problema geometrico dell intersezione di una conica con una retta. PROVA TU P D Determina le posizioni reciproche tra retta e conica risolvendo i seguenti sistemi: x +y =4 2 2 a. {x y + 3 = 0 b. {x + y + 1 = 0 c. y = 2 x2 x 1 xy = 2 {y = x + 3 sistema di secondo grado in due incognite intersezione di una conica con una retta L equazione risolvente del sistema può essere di primo o di secondo grado e quindi il sistema può avere: Q una soluzione reale; Q due soluzioni reali e distinte; Q due soluzioni reali coincidenti; Q nessuna soluzione reale. Nei primi due casi (una o due soluzioni reali distinte) la retta è secante la conica: Nel caso di due soluzioni coincidenti la retta è tangente alla conica: FISSA I CONCETTI Q Sistema di secondo grado in due incognite intersezione di una conica con una retta Una sola soluzione o due soluzioni distinte retta secante Due soluzioni coincidenti in una sola retta tangente Nessuna soluzione reale retta esterna Nel caso non vi siano soluzioni reali la retta è esterna alla conica: I sistemi di secondo grado permettono di risolvere quei problemi geometrici che richiedono di individuare una conica che sia in una determinata posizione rispetto a una retta. 478