9 coniche Ricaviamo l espressione della y dalla prima equazione e la sostituiamo nella seconda; con successivi passaggi otteniamo: 4 y = _x 3 {x2 3x = 0 Abbiamo così due soluzioni: x1 = 0 ; x2 = 3 {y 1 = 0 {y 2 = 4 La prima soluzione però non soddisfa le condizioni richieste (perché y = 2x), quindi è da scartare. Il sistema dato ha perciò una sola soluzione: x=3 {y = 4 PROVA TU P Risolvi: Ri 4x2 36 = 9y2 {y x 1 = 0 I sistemi fin qui visti hanno tutti un numero finito e non nullo di soluzioni. In tale caso un sistema viene detto determinato. Anche per i sistemi di secondo grado possiamo parlare di sistema indeterminato e di sistema impossibile. Un sistema è indeterminato quando non individua un insieme finito di soluzioni, ma un insieme infinito di valori di x e di y, legati tra loro da una relazione. Per esempio, risolvendo il sistema: x2 y2 = 0 {x y = 0 se ricaviamo x dalla seconda equazione e la sostituiamo nella prima abbiamo: y2 y2 = 0 {x = y non arriviamo a una equazione risolvente, ma all identità 0 = 0. In questo caso tutte le coppie (x ; y) in cui x = y sono soluzioni del sistema. Il sistema è perciò indeterminato. ATTENZIONE! A O Osserviamo che, scomponendo il binomio della prima equazione, otteniamo: (x y)(x + y) = 0 Per la legge di annullamento del prodotto, la prima equazione contiene già l informazione della seconda; questa non aggiunge quindi un ulteriore condizione che consenta di individuare soluzioni. Un sistema è impossibile se non ha soluzioni perché le sue equazioni sono incompatibili. Per esempio, risolvendo il sistema: x2 y2 = 1 {x y = 0 se ricaviamo x dalla seconda equazione e la sostituiamo nella prima abbiamo: FISSA I CONCETTI Q y2 y2 = 1 {x = y ottenendo nella prima equazione la contraddizione 0 = 1. Se riscriviamo il sistema in questa forma: (x y)(x + y) = 1 {x y = 0 osserviamo subito, infatti, che la seconda equazione non è compatibile con la prima, perché contraddice la legge di annullamento del prodotto. Q Sistema di equazioni di secondo grado: insieme di equazioni una di secondo grado e le altre di primo considerate contemporaneamente. Metodo di sostituzione: esplicitare una variabile dall equazione di primo grado e sostituirla nell altra. Il sistema è determinato se ha un numero finito di soluzioni, indeterminato se ne ha infinite, impossibile se non ha soluzioni in R. 477