GEOMETRIA Può capitare che un sistema sia formato da due equazioni frazionarie, la cui risoluzione porti a una equazione di primo grado e una di secondo grado. Un sistema di questo tipo è considerato come sistema di secondo grado. La ricerca delle sue soluzioni, una volta riportate le due equazioni a espressioni intere, segue l usuale procedura di sostituzione. In casi del genere occorre però verificare, come sempre per le equazioni frazionarie, che le soluzioni trovate non annullino alcuno dei denominatori delle equazioni di partenza. Per questo, prima di procedere alla trasformazione delle equazioni, dobbiamo stabilire l insieme di definizione, cioè le condizioni che devono essere verificate affinché le equazioni possano essere riscritte in forma intera; una volta trovate le soluzioni del sistema così ottenuto, controlliamo se ciascuna di esse verifica tali condizioni. esempi O Risolvi il sistema: _ y 4x x _+_=0 x y x2 y2 x + y _ 3 y + x = 6 La prima equazione ha significato in R se valgono le due condizioni: x y e x y Con tali condizioni possiamo moltiplicare ogni termine per l espressione x2 y2, che è il denominatore comune delle frazioni algebriche che vi compaiono. Il sistema è così trasformato nel seguente: y(x + y) 4x + x(x y) = 0 x2 + y2 4x = 0 _ _ { 3 y + x = 6 {x = 6 3 y Con il metodo di sostituzione, otteniamo: _ _ (6 3 y)2 + y2 4(6 3 y) = 0 _ {x = 6 3 y _ 4 y2 8 3 y + 12 = 0 _ {x = 6 3 y _ L equazione risolvente, che si può scrivere come y2 2 3 y + 3 = 0, ha _ il discriminante uguale a zero; le sue soluzioni coincidono nel valore y = 3. Abbiamo così due soluzioni coincidenti in R R: x = 3_ {y = 3 Sono accettabili perché soddisfano le condizioni stabilite (x y). O Risolvi il sistema: _ x+y _ 7 2x y 2 = 0 x y)2 _ 1 (_ =0 2x + y 10 Le condizioni affinché le equazioni abbiano significato in R sono: 2x y 0 y 2x 2x + y 0 y 2x Quando tali condizioni sono verificate, possiamo così scrivere il sistema: 2(x + y) 7(2x y) = 0 {10 (x y)2 (2x + y) = 0 476 4x + 3y = 0 {10 x2 + 10 y2 20xy 2x y = 0