9 coniche Possiamo estendere anche alcune osservazioni geometriche ai casi in cui non siamo in grado di rappresentare geometricamente il sistema: il sistema rappresenta sempre l intersezione tra una retta e una curva di secondo grado, cioè una conica; Q curva e retta possono non avere punti comuni (retta esterna), possono avere in comune un solo punto, oppure averne due distinti (retta secante), o, infine, possono avere comuni due punti coincidenti (condizione di tangenza); non sono possibili altri casi. Q Per risolvere un sistema di secondo grado facciamo prima gli opportuni passaggi algebrici in modo da riscrivere le due equazioni in forma equivalente, ma più semplice e poi applichiamo il metodo di sostituzione. ATTENZIONE! A N Nella scelta della variabile da esplicitare nell equazione di primo grado, conviene considerare, se presente, quella con coefficiente 1 (o 1) in modo da avere una espressione intera da sostituire. esempi O Risolvi il sistema di secondo grado: 2x y + 1 = 0 {4 x2 + y2 1 = 3xy PROVA TU P Ri Risolvi i seguenti sistemi di equazioni: Riscriviamo la prima equazione isolando l incognita y e poi sostituiamo l espressione ottenuta nella seconda equazione: y = 2x + 1 {4 x2 + y2 1 3xy = 0 a. x2 y2 = 5 {x y = 5 b. xy = 8 {x + y 2 = 0 y = 2x + 1 y = 2x + 1 {2 x2 + x = 0 {4 x2 + (2x + 1)2 1 3x(2x + 1) = 0 Dalla seconda equazione (che è l equazione risolvente del sistema) otteniamo 1 x 1 = _ e x2 = 0. Le soluzioni del sistema sono perciò: 2 1 x1 = _ x2 = 0 2; { y 2=1 {y 1 = 0 Non è immediato rappresentare graficamente il sistema: la prima equazione individua una retta, la seconda una curva di secondo grado che non è facilmente riconducibile alle coniche fin qui studiate. O Risolvi il seguente sistema: xy = 6 (5 y)y = 6 {x + y = 5 {x = 5 y y2 5y + 6 = 0 y1 = 2 y2 = 3 Le soluzioni del sistema sono: x1 = 3 x2 = 2 ; {y 1 = 2 {y 2 = 3 Possiamo notare da questo ultimo esempio e dal grafico a esso relativo, rappresentato qui a lato, che: Q le soluzioni del sistema sono le coordinate di due punti del piano cartesiano simmetrici rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante (scambiando la x con la y il sistema resta inalterato); Q l equazione risolutiva del sistema conferma le relazioni tra le soluzioni di un equazione di secondo grado e i suoi coefficienti come hai già studiato nell unità 3. ATTENZIONE! A S rappresentiamo le curve Se del secondo esempio, la prima equazione rappresenta un iperbole equilatera con asintoti gli assi cartesiani (in ciano) e la seconda una retta (in rosso). I punti di intersezione A(3 ; 2) e B(2 ; 3) sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante (retta tratteggiata). y 5 4 3 2 1 3 2 1 O 1 B A 1 2 3 4 5 x 2 3 475