GEOMETRIA esempio O Risolvi il sistema di secondo grado: 2y + x2 2x = 2 {2x + 1 = 0 e interpreta geometricamente le soluzioni. Ricaviamo il valore di x dalla seconda equazione e sostituiamolo nella prima: 1 2 1 _ _ 2y + ( ) 2( ) = 2 2 2 1 x = _ 2 1 _ 2y + + 1 = 2 4 1 x = _ 2 3 _ 2y = 4 1 x = _ 2 3 1 Il sistema ha una soluzione: x = _; y = _ 2 8 1 Esplicitando la prima equazione rispetto a y, otteniamo: y = _ x2 + x + 1 2 Essa rappresenta nel piano cartesiano una parabola (con asse parallelo all as3 se delle ordinate) che ha il vertice in V(1 ; __), come asse di simmetria la 2 retta x = 1 e che interseca l asse delle ordinate nel punto P(0 ; 1). La retta 2x + 1 = 0 è parallela al suo asse di simmetria e interseca, quindi, la parabola in un solo punto. Infatti, l equazione ottenuta risolvente il sistema è di primo grado e ha perciò una sola soluzione. y 1 PROVA TU P Tr le intersezioni tra la parabola Trova y x 2 + 2 = 0 e la retta 2x y 2 = 0. P V 1 x Anche per individuare le intersezioni tra una retta e una ellisse o tra una retta e una iperbole consideriamo un sistema di secondo grado. Le soluzioni reali del sistema sono le coordinate dei punti di intersezione tra retta e curva; sono coppie di valori (x ; y) e appartengono, quindi, all insieme R R. La retta può intersecare la curva in uno o due punti, può essere tangente o esterna. Corrispondentemente, il sistema avrà nell insieme R R una soluzione, due soluzioni distinte, due soluzioni coincidenti, nessuna soluzione. 472