9 coniche e. Dividiamo tutti i termini per 4 e scriviamo l equazione come: y2 x2 + _ = 1 ellisse con centro nell origine e semidiametri di rispet4 tive lunghezze 1 e 2. f. Dividendo tutti i termini dell equazione per 4 otteniamo: (y + 2)2 (x 1)2 + _ = 1 ellisse con centro (1 ; 2) e semidiametri di 4 rispettive lunghezze 1 e 2. Lezione INTERATTIVA Le sezioni coniche FISSA I CONCETTI conica equazione di secondo grado in x e y: ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 (con a, b, c, d, e, f R) 2 I sistemi di secondo grado Esercizi da pag. 490 L equazione di una circonferenza e quella di una parabola sono equazioni di secondo grado in due incognite; quella di una retta è di primo grado, anch essa in due incognite. Nelle unità 7 e 8 per trovare le intersezioni tra una retta e una di queste due curve, abbiamo scritto e risolto un sistema in due incognite formato dalle loro equazioni. Poiché il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono, la ricerca delle intersezioni tra una retta e una circonferenza o tra una retta e una parabola porta alla risoluzione di un sistema di secondo grado, di due equazioni in due incognite. esempio O Trova le intersezioni tra la parabola y = x2 3 e la retta x y 3 = 0. Per trovare le intersezioni tra retta e parabola risolviamo il sistema: y y = x2 3 {x y 3 = 0 1 Sostituiamo l espressione della y data dalla prima equazione nella seconda: y = x2 3 {x y 3 = 0 1 y = x2 3 y = x2 3 {x2 x = 0 {x x2 + 3 3 = 0 Le soluzioni dell equazione di secondo grado x2 x = 0 sono: x1 = 0 e x2 = 1. Sostituendo i valori della x trovati nella prima equazione del sistema determiniamo le coordinate dei punti intersezione tra retta e parabola: P1(0 ; 3) e P2(1 ; 2). x P2 3 P1 Nel precedente esempio, abbiamo risolto il sistema con il metodo di sostituzione e abbiamo ottenuto una equazione di secondo grado, che è l equazione risolvente del sistema. Le sue soluzioni x1 e x2 consentono di trovare le soluzioni del sistema dato: sostituendo ciascuno dei valori trovati al posto della x nella prima equazione del sistema, troviamo, infatti, i valori della y corrispondenti e quindi le soluzioni del sistema (coppie ordinate di numeri reali). 471