GEOMETRIA esempi O Rappresenta sul piano cartesiano le seguenti equazioni e stabilisci di quale conica si tratta: a. 4x2 8x 4y + 1 = 0 b. 4x2 y2 = 0 a. Osserviamo che l equazione contiene il termine y di primo grado e quindi possiamo isolare l incognita y e scrivere 1 l equazione come y = x2 2x + _ 4 L equazione rappresenta una parabola con asse di simmetria la retta x = 1 parallela all asse y, concavità a = 1 rivolta y 7 6 5 4 3 2 1 1 3 2 1O 1 2 3 V 2 3 4 x 3 verso l alto e vertice di coordinate V(1 ; __) 4 b. Osserviamo che il binomio può essere scomposto in fattori e quindi possiamo scrivere l equazione come: (2x y)(2x + y) = 0 Per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni dell equazione sono quelle delle due seguenti equazioni: 2x y = 0 retta di coefficiente angolare 2, passante per O 2x + y = 0 retta di coefficiente angolare 2, passante per O y O x Sul piano cartesiano abbiamo quindi una coppia di rette: è una conica degenere. O Stabilisci quali tra le seguenti sono equazioni di ellissi (e in particolare di circonferenze), quali di parabole, di iperboli e quali di coniche degeneri: a. x2 4y2 1 = 0 d. 4x2 + 9y2 12xy = 0 2 2 b. 4x + 4y 32x + 63 = 0 e. 4x2 + y2 4 = 0 2 c. y x 3y + 1 = 0 f. 4(x 1)2 + (y + 2)2 4 = 0 PROVA TU P St Stabilisci quale conica rappresenta ciascuna equazione di secondo grado: a. x 2 4y 1 = 0 b. x 2 + 4y 2 4xy = 0 c. x 2 + 4y 2 4y 3 = 0 470 y2 a. Possiamo scrivere l equazione come: x2 _ = 1 iperbole di vertici 1 _ 1 4 ( 1 ; 0) e asintoti di equazioni: y = __x. 2 b. Dividiamo tutti i termini per 4 e scriviamo l equazione come: 63 1 x2 + y2 8x + ___ = 0 circonferenza di centro (4 ; 0) e raggio __. 2 4 c. Isoliamo il termine x e scriviamo l equazione come: x = y2 3y + 1 parabola con asse parallelo all asse delle ascisse, 5 3 concavità a = 1 e vertice in ( __ ; __). 4 2 d. Il polinomio può essere riscritto come (2x 3y)2; l equazione rappresenta la conica degenere formata da due rette coincidenti di equazione 2x 3y = 0.