9 coniche Anche queste sono sezioni coniche, sia pure molto particolari, e sono pertanto dette coniche degeneri. Esse infatti possono essere pensate come forme limite delle normali coniche: il punto come caso limite di una circonferenza (o di una ellisse); la retta (da considerarsi come doppia, perché tangente) come caso limite di una parabola; le due rette come caso limite dei due rami di una iperbole. KEYWORDS K c coniche degeneri / degenerate conics FISSA I CONCETTI Q L equazione generale di una conica Nell unità 8 abbiamo considerato soltanto le equazioni di coniche con particolari posizioni rispetto agli assi cartesiani che per semplicità di espressione abbiamo chiamato in posizione normale. Tuttavia le coniche possono trovarsi in posizioni diverse rispetto agli assi, come possiamo vedere da questi esempi: Q Q Q Q La circonferenza, l ellisse, l iperbole e la parabola sono chiamate coniche, perché ottenute come intersezioni tra un piano e una superficie conica. Ellisse (o circonferenza): l apertura del cono è minore dell inclinazione del piano. Parabola: l apertura del cono è uguale all inclinazione del piano. Iperbole: l apertura del cono è maggiore dell inclinazione del piano. Coniche degeneri: si ottengono sezionando un cono con un piano passante per il suo vertice. Per determinare le equazioni in questi casi dovremmo affrontare alcune complicazioni di calcolo che non prenderemo in considerazione in questo testo, tuttavia enunciamo qui un importante teorema che caratterizza le coniche da un punto di vista algebrico, qualunque sia la loro posizione nel piano cartesiano. Il teorema afferma che le curve espresse da equazioni di secondo grado in due incognite sono tutte e sole le coniche: a seconda del valore dei loro coefficienti possiamo avere un ellisse, una circonferenza, un iperbole, una parabola, o, infine, una conica degenere. TEOREMA Ogni conica è descritta algebricamente da una equazione di secondo grado in due incognite, la cui forma generale è: ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 (con a, b, c, d, e, f R). Viceversa, l insieme delle soluzioni reali di ogni equazione di secondo grado in due incognite, se non è vuoto, è rappresentato nel piano cartesiano da una conica. Osserviamo che il teorema afferma che una conica è descritta algebricamente da una equazione di secondo grado nelle variabili x e y, pertanto i coefficienti a, b, c, non possono essere nulli contemporaneamente. In tale caso, infatti, l equazione si abbasserebbe di grado, rappresentando quindi una retta. Come le rette rappresentano il modello geometrico delle equazioni polinomiali di primo grado in due incognite, così le coniche derivano la loro importanza anche dall essere il modello geometrico delle equazioni polinomiali di secondo grado in due incognite. Vediamo qui alcuni esempi di come sia possibile riconoscere una conica a partire da una equazione di secondo grado. Opereremo algebricamente sui polinomi in modo da ricondurre l equazione delle coniche studiate a una delle forme canoniche, utilizzando eventualmente delle traslazioni nel piano delle curve assegnate. 469