8 ESERCIZI Ellissi, iperboli, parabole Determina l equazione della parabola che ha fuoco F e direttrice d assegnati. esercizio svolto F(0 ; 1) d: y = 1 Una parabola con fuoco F(0 ; k) e direttrice la retta y = k è una parabola con vertice nell origine di equazione 1 y = ax2 con a = ___. 4k Dall ordinata del fuoco ricaviamo, quindi, che k = 1. 1 1 Pertanto, a = __ e l equazione della parabola è : y = __ x2. 4 4 1 2 ___ 278 F(0 ; 8) d: y = 8 [y = 32 x ] 279 F(0 ; 2) d: y = 2 [y = 8 x ] 5 280 F 0 ; __ 5 d: y = __ 3 [y = 20 x ] 281 F(0 ; 1,2) d: y = 1,2 ( 3) 282 F(0 ; 0,¯ 3) _ _ 3 283 F 0 ; ___ ( 3 d: y = ___ 3) d: y = 4 1 285 F 0 ; __ 3 2 ___ 2) 1 286 F 0 ; __ ( 7) 1 d: y = __ 2 1 d: y = __ 7 [y = 24 x ] 5 2 ___ 287 F(0 ; 0,45) d: y = 0,45 _3_ 2 [y = 4 x ] _ 3 2 ___ [y = 4 x ] 288 F(0 ; 2) d: y = 2 5 289 F 0 ; ___ 5 d: y = ___ _1_ 2 d: y = 0,3 3 1 2 ___ 284 F(0 ; 4) ( _ _ ( 2) [y = 16 x ] _1_ 2 [y = 2 x ] _7_ 2 [y = 4 x ] _5_ 2 [y = 9 x ] _ _ _ 2 2 2 ___ [y = 4 x ] _ [ 5 y = ___ x2 10 ] Scrivi l equazione della parabola di cui sono assegnati il fuoco F e la direttrice d. esercizio svolto F(1 ; 2) d: y = 1 L equazione di una parabola con l asse di simmetria parallelo all asse y è data da y = ax2 + bx + c. Chiamate (xv ; y0) le coordinate del vertice, sussistono le seguenti relazioni con le coordinate del fuoco F e l equazione della direttrice d: 1 1 d: y = yv ___ F(xv ; yv + ___) 4a 4a 1 1 Confrontando i valori dati abbiamo: xv = 1, yv + ___ = 2, yv ___ = 1 4a 4a 1 ___ = 2 yv + 4a Ponendo a sistema le ultime due equazioni otteniamo 1 y ___ = 1 v 4a 3 1 Risolvendo il sistema abbiamo: yv = __ a = __ 2 2 I coefficienti b e c dell equazione si ricavano dalle relazioni: b = 2axv e c = ax2v + yv 1 1 3 da cui: b = 2 ( __) 1 = 1 c = ( __) 12 + ( __) = 2 2 2 2 In definitiva l equazione della parabola diventa: 1 y = __ x2 + x 2 2 1 4) 290 F 2 ; __ ( d: 4y + 1 = 0 [y = x2 4x + 4] 1 9) 291 F 3 ; __ ( d: 9y + 1 = 0 27 81 _9_ 2 ___ ___ [y = 4 x 2 x + 4 ] 455