8 Ellissi, iperboli, parabole ESERCIZI Attraverso opportune traslazioni dimostra che le seguenti equazioni rappresentano delle ellissi. Indica le coordinate del centro e dei loro fuochi. esercizio svolto 3( x2 + 6x + 9 ) + 2( y2 10y + 25 ) = 72 (x + 3)2 (y 5)2 3 (x + 3)2 + 2 (y 5)2 = 72 _______ + _______ = 1 24 36 Applicando la trasformazione di equazioni: x = x + 3 {y = y 5 2 x 2 y otteniamo l equazione _ + _ = 1 24 36 che è l equazione canonica di una ellisse di centro O(0 ; 0). L equazione di partenza_rappresenta quindi un ellisse di centro C( 3 ; 5) e distanza tra i fuochi: _ c = 36 24 = 2 3 _ _ I fuochi hanno pertanto coordinate F 1( 3 ; 5 2 3) e F 2( 3 ; 5 + 2 3) esercizio svolto 4 x + 9 y2 48x + 72y + 144 = 0 2 Cerchiamo di scrivere l equazione individuando dei quadrati di binomio per le incognite x e y. (x 6)2 (y + 4)2 4 (x 6)2 + 9 (y + 4)2 = 144 _______ + _______ = 1 36 16 2 2 y x = x 6 x Applicando la traslazione di equazioni { otteniamo l equazione _ + _ = 1 y = y + 4 36 16 4(x2 12x + 36) + 9(y2 + 8y +16) 144 = 0 Questa è l equazione canonica di una ellisse di centro O(0 ; 0). L equazione di partenza rappresenta quindi un ellisse di centro C(6 ; 4) e distanza tra i fuochi: _ c = 2 5 _ _ I fuochi hanno pertanto coordinate F 1(6 2 5 ; 4) e F 2(6 + 2 5 ; 4) 69 2(x 3)2 + 4(y 2)2 = 4 74 3x2 + 4y2 24y + 36 = 12 70 (x 5)2 + 9(y 1)2 = 81 75 x2 + 2y2 2x + 8y + 9 = 4 71 5(x + 1)2 + 4y2 = 100 76 x2 + 2y2 8x + 4y + 18 = 18 72 2(x2 4x + 4) + 6(y2 2y + 1) = 256 77 25x2 + 9y2 + 50x 18y + 34 = 225 73 x2 + 2y2 12y + 18 = 8 78 9x2 + 8y2 54x 16y + 18 = 0 ULTERIORI PROBLEMI esercizio svolto Scrivi l equazione dell ellisse avente per assi di simmetria gli assi cartesiani e passante per i punti A( 2 ; 0) e B(1 ; 1). 2 x2 y L equazione canonica dell ellisse è __2 + __2 = 1. a b 443