1 Operare con numeri e lettere 2 x 1 b. _ + _________________ _= x + y x2 + 2xy + y2 2x + 2y 2 x 1 = _ + _2 _ = x + y (x + y) 2(x + y) FISSA I CONCETTI L addizione tra frazioni algebriche: Q è commutativa e associativa; Q 0 è l elemento neutro; Q ogni frazione algebrica ha nell insieme delle frazioni algebriche la propria frazione opposta. 2 2(x + y) + 2x (x + y) = _______________________________ = 2 (x + y)2 5x + 3y 4x + 4y + 2x x y ___________ = = ______________________________ 2 2 (x + y) 2 (x + y)2 Moltiplicazione e divisione Anche la moltiplicazione tra frazioni algebriche segue una procedura analoga a quella della moltiplicazione tra le frazioni numeriche. Per esempio, se vogliamo calcolare il prodotto: x 2x 1 _ _ a x a+x moltiplichiamo tra loro i numeratori e tra loro e denominatori e otteniamo una frazione algebrica: (2x 1) x 2x2 x _____________ =_ (a x)(a + x) a2 x2 La moltiplicazione ha le seguenti proprietà: Q è commutativa; Q è associativa; Q 1 è l elemento neutro; Q ogni frazione algebrica diversa da 0 ha l inverso rispetto alla moltiplicazione: la sua frazione reciproca, che si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore. Per moltiplicare (o dividere) frazioni algebriche conviene, innanzitutto, scomporre in fattori sia i numeratori sia i denominatori. In questo modo, poiché la moltiplicazione e la divisione hanno la stessa priorità, si potrà prima dividere (cioè semplificare) per poi moltiplicare con maggiore facilità. Per esempio, calcoliamo la seguente divisione: 16a 16ab + 4b 4a 2b __________________ : ___________________ = invertiamo la frazione algebrica: 9a2 9b2 4a 2b ___________________ = = __________________ a2 + 2ab + b2 16a2 16ab + 4b2 scomponiamo in fattori i polinomi: (a + b)(a b) 2(2a b) 9______________ = =_ 2 (a + b) 4 (2a b)2 semplifichiamo, se possibile: 9(a + b)(a b) 2(2a b) __________________ = = ____________ 2 2 (a + b) 2 4 (2a b) scriviamo quindi il risultato scomposto in fattori: 2 a + 2ab + b 2 2 2 2 2 9a 9b ATTENZIONE! A Di Dividere per una frazione equivale a moltiplicare per la reciproca: _a_ : _c_ = _a_ _d_ b d b c 9(a b) = _______________ 2(2a b)(a + b) 43