ALGEBRA Nell insieme delle frazioni algebriche, l addizione ha le seguenti proprietà: Q è commutativa; Q è associativa; Q 0 è l elemento neutro (ogni frazione con numeratore uguale a 0 equivale a 0); Q ogni frazione algebrica ha l inversa rispetto all addizione, che si ottiene cambiandone il segno: è la sua frazione opposta. x y+1 Per esempio, l opposta della frazione ______________ è: x+y x y + 1 ________________ x + y 1 ______________ = x+y x+y Poiché ogni frazione algebrica ha un opposta è definita anche la sottrazione. esempi O Calcola la seguente espressione, riducendola a una frazione algebrica. 2c b 2c + 5ab ______ _ _ 3 2 15a b 6ac 15a bc Il denominatore comune è il minimo comune multiplo dei tre monomi che sono al denominatore delle tre frazioni: mcm (15a2b, 6ac2, 15a2bc2) = 30a2bc2 Scriviamo perciò: 2 2 2 2 2 3 2 2c 2c b 5ab (2c + 5ab ) 2 _____________________________ = 30a2bc2 4c3 5ab2 4c3 10ab2 = _____________________ = 30a2bc2 15ab2 b = _______ = ____2 30a2bc2 2ac O Calcola la seguente espressione, riducendola a una frazione algebrica: y 1+_ x y Otteniamo: x y+y _ x ______ = x y x y O Effettua le seguenti addizioni o sottrazioni: ATTENZIONE! A (1 a) e (a 1) sono binomi opposti; (a 1) lo possiamo scrivere come (1 a). Considerando come fattore comune 1 a, occorre perciò cambiare il segno dell ultima frazione. PROVA TU P C Calcola la seguente espressione, riducendola a una frazione algebrica: 6x 3x + 2 2 _____ + _____ + _____ x+1 42 x2 + x 1 x2 2 a2 2a a+1 a. _2 _ + _ 3a a 1 a a Scomponiamo in fattori i denominatori e riscriviamo le frazioni con denominatore comune: 2 2 3 2a (a + 1)(1 a) 3a 2a a+1 2a 2a _______ _____ + _____ = ____________________________ = a(1 a) 3a a 1 Eseguiamo i calcoli al numeratore: 3a(1 a) 6 a2 + a2 1 6 a2 a2 1 = _________________ = ___________ 3a(1 a) 3a(1 a) Scomponiamo il numeratore e semplifichiamo la frazione ottenuta tenendo conto che (a 1) : (1 a) = 1: (a + 1)(a 1) a+1 = ____________ = _____ 3a(1 a) 3a