ALGEBRA esempi O Effettua la seguente moltiplicazione. 2 y2 8 3ab 3 a3 b ______________________ _________________ = 2 3x y 12xy + 12x a + 2 a2 + a3 PROVA TU P CCalcola la seguente moltiplicazione: 2 x 2x + 1 2x 4 _________________ _ x 2 1 2x 2 8x + 8 FISSA I CONCETTI La moltiplicazione tra frazioni è: Q commutativa; Q associativa; Q 1 è l elemento neutro; Q ogni frazione algebrica non nulla ha la propria frazione reciproca. Q Scomponiamo in fattori i polinomi al numeratore e al denominatore e semplifichiamo dove è possibile: 3ab(1 a2) 2(y2 4) _____________ _____________ = = 3x(y2 4y + 4) a(1 + 2a + a2) 2(y + 2) (y 2) b (1 + a)(1 a) _____________ = _____________ = 2 x (y 2) (1 + a)2 2b(1 a)(y + 2) ciò che rimane, è il risultato scomposto in fattori: = ___________________ x(y 2)(1 + a) O Effettua la seguente divisione. 2t x3 6t x2 y + 6tx y2 2t y3 ____________________________________ : (x2 2xy + y2) = y x + 2yt 2xt 2t(x3 3 x2 y + 3x y2 y3) _ 1 _______________________________ = = y (1 + 2t) x (1 + 2t) (x y)2 2t (x y)3 1 = __________________ _2 = (y x)(2t + 1) (x y) Il prodotto di due o più frazioni algebriche è la frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. 2t (x y)3 1 2t = _____________ _______2 = _ (x y) (2t + 1) (x y) 2t + 1 Elevamento a potenza Per elevare a potenza una frazione algebrica, come nel caso delle frazioni numeriche, eleviamo a potenza sia il numeratore sia il denominatore. Per esempio: 2x y 2 ______________________________________ 4 x2 4xy + y2 _______________ = 2 (x + y + 1) x + y2 + 1 + 2xy + 2x + 2y esempio O Calcola le seguenti potenze. a. 27 a9 b12 = ________________________________ 3 (3a b) 27 a 27 a2 b + 9a b2 b3 b. 2_ x3 y2 2 4_____________________ x6 4 x3 y2 + y4 = ( 2 x3 y2 ) 4 x6 y4 c. 3a b _ 3 4 3 3x 1 ______________ 2 1 ( x + y + z) x+y+z = ______________ 3 x2 1 Se devi eseguire più operazioni, conviene talvolta lasciare indicate gli elevamenti a potenza: risultano così più evidenti i fattori. Per esempio: 3xy x y 2 3xy x2 + y2 2xy _ + _ = _ + ______________ = 4x + 4y (x + y) 4 (x + y) (x + y)2 3xy (x + y) + 4(x + y 2xy) ____________________________________ 3x2y + 3xy2 + 4x2 + 4y2 8xy = = ________________________________ 4 (x + y)2 4 (x + y)2 2 44 2