8 Ellissi, iperboli, parabole L equazione risolvente è: x2 2x 3 = 2x 9 il discriminante dell equazione è = 8, negativo e quindi l equazione e il sistema risultano impossibili La retta t è esterna alla parabola data. Le rette tangenti a una parabola condotte da un punto Talvolta occorre risolvere il problema inverso del precedente: condurre da un punto la retta tangente a una parabola data. Il problema si può presentare in due diversi modi, che possono essere risolti però con lo stesso procedimento di soluzione: a. trovare la retta tangente a una parabola in un suo punto P assegnato; b. trovare le rette tangenti a una parabola e passanti per un punto P assegnato, non appartenente alla parabola e a essa esterno. P a. b. P Nel caso a., il punto P appartiene alla parabola ed esiste una sola retta a essa tangente e passante per P. Nel caso b., il punto P non appartiene alla parabola ed esistono due rette a essa tangenti e passanti per P. Il procedimento di soluzione è però lo stesso. Dati la parabola di equazione y = ax2 + bx + c e il punto P(xP ; yP), impostiamo il sistema tra l equazione della parabola e l equazione della generica retta passante per P: y = a x2 + bx + c {y y P = m(x x P) Ricaviamo quindi l equazione risolvente del sistema, nella quale compare il parametro m: affinché l equazione abbia due soluzioni coincidenti il suo discriminante deve essere posto uguale a 0. ax2 + bx + c yP mx + mxP = 0 ax2 + (b m)x + c yP + mxP = 0 = (b m)2 4a(c yP + mxP) = 0 dove a, b, c, xP e yP sono numeri dati dal problema in esame, mente m è un valore incognito. Questa condizione rappresenta, quindi, una nuova equazione in cui l incognita è m. Risolvendo questa equazione otteniamo un unico valore m soluzione nel caso a. (P appartenente alla parabola) o due valori di m nel caso b. (P non appartenente alla parabola). ATTENZIONE! A N Naturalmente, se il punto P fosse interno alla parabola, per esso non esisterebbe nessuna retta a essa tangente, perché tutte le rette passanti per P sono secanti. P 429